2010-上海卷理-03 填-抛物线

本题导读

本题考查抛物线的第一定义，通过焦点与准线直接写出抛物线的标准方程。

📌【题干】

Question

（2010年上海卷(理)） 动点 $P$ 到点 $F(2,0)$ 的距离与它到直线 $x+2=0$ 的距离相等，则点 $P$ 的轨迹方程为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 根据抛物线定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离相等的点的轨迹是抛物线。
2. 由焦点 $F(2,0)$ 和准线 $x=-2$，确定焦点在 $x$ 轴正半轴，$\frac{p}{2}=2⟹p=4$。
3. 写出抛物线标准方程 $y^2=2px$。

✅【答案】

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$y^2=8x$

✍【详细解析】

Abstract

根据抛物线的定义，动点 $P$ 到定点 $F(2,0)$ 的距离等于它到定直线 $x=-2$ 的距离，因此点 $P$ 的轨迹是以 $F(2,0)$ 为焦点，$x=-2$ 为准线的抛物线。

设抛物线的标准方程为： $y^2=2px(p>0)$

由准线方程 $x=-\frac{p}{2}=-2$，解得： $p=4$

所以点 $P$ 的轨迹方程为： $y^2=8x$

故答案为：$y^2=8x$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线的几何定义与标准方程。
2. 核心方法：由焦点 $(c,0)$ 与准线 $x=-c$ 判定形如 $y^2=4cx$。
3. 避坑指南：认准抛物线开口方向，防止误写为 $x^2=8y$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：抛物线定义基础题。
2. 结论推广：平面内到点 $(p/2,0)$ 距离等于到直线 $x=-p/2$ 距离的点集为 $y^2=2px$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-11 单-抛物线切线与圆
• 2011-大纲卷理-10 单-抛物线
• 2011-大纲卷理-21 解-抛物线焦点