2016-全国卷II理-04 单-圆的一般方程

本题导读

本题考查圆的一般方程与标准方程的转化、点到直线的距离公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷II(理)） 圆 $x^2+y^2-2x-8y+13=0$ 的圆心到直线 $ax+y-1=0$ 的距离为 $1$，则 $a=$ ()

A. $-\frac{4}{3}$　　　　　　　B. $-\frac{3}{4}$　　　　　　　C. $\sqrt{3}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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1. 求圆心坐标：将圆的一般方程通过配方法化为标准方程 $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=r^2$，从而得到圆心 $C(x_0,y_0)$。

2. 应用距离公式：利用点 $(x_0,y_0)$ 到直线 $Ax+By+C=0$ 的距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$。

3. 建立方程：令距离 $d=1$，求出参数 $a$ 的值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 求圆心 $C$： 将圆的方程 $x^2+y^2-2x-8y+13=0$ 配方： $(x^2-2x+1)+(y^2-8y+16)-1-16+13=0$ $(x-1{)}^2+(y-4{)}^2=4$。 所以圆心坐标为 $C(1,4)$。
2. 计算距离： 圆心 $(1,4)$ 到直线 $ax+y-1=0$ 的距离 $d=\frac{|a\times 1+4-1|}{\sqrt{a^2+1^2}}=\frac{|a+3|}{\sqrt{a^2+1}}$。
3. 求解 $a$： 依题意有 $\frac{|a+3|}{\sqrt{a^2+1}}=1$。 两边平方得：$\frac{(a+3{)}^2}{a^2+1}=1$。 $a^2+6a+9=a^2+1$。 $6a=-8$。 $a=-\frac{4}{3}$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 配方技巧：圆的一般方程 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 的圆心坐标为 $(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})$。本题中 $D=-2,E=-8$，直接得出圆心为 $(1,4)$ 更快。

• 距离公式：熟练掌握点到直线的距离公式是解析几何的基础，注意绝对值符号的处理。

• 计算检查：平方后消去了 $a^2$ 项，说明该方程为一元一次方程，只有一个解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：若把距离条件改为“直线与圆相切”（距离等于半径 2）：$\frac{|a+3|}{\sqrt{a^2+1}}=2$，解得 $3a^2-6a-5=0$，即 $a=1\pm \frac{2\sqrt{6}}{3}$——同一个距离公式，临界值从 1 变为 2。
2. 知识关联：圆的一般方程配方求圆心 $(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})$ 与点到直线距离公式是解析几何的基础组合；直线与圆的位置关系统一由“距离与半径比较”三类处理。

🔗【关联脉络】

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A

类题演练 (Links)

• 1988-广东文-09 单-圆的一般方程与对称性
• 1988-广东理-07 单-圆的一般方程与对称性
• 1996-全国卷文-11 单-椭圆的一般方程化标准方程

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