2010-上海卷理-13 填-双曲线

本题导读

本题考查双曲线渐近线交点坐标求法，结合平面向量基底坐标表示，导出动点在双曲线上时系数 $a,b$ 满足的关系式。

📌【题干】

Question

（2010年上海卷(理)） 如图所示，直线 $x=2$ 与双曲线 $\Gamma :\frac{x^2}{4}-y^2=1$ 的渐近线交于 $E_1,E_2$ 两点，记 $\overrightarrow{O{E}_1}=\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{O{E}_2}=\overrightarrow{e_2}$，任取双曲线 $\Gamma$ 上的点 $P$，若 $\overrightarrow{OP}=a\overrightarrow{e_1}+b\overrightarrow{e_2}(a,b\in \mathbb{R})$，则 $a,b$ 满足的一个等式是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 求 $E_1,E_2$ 坐标： 双曲线 $\frac{x^2}{4}-y^2=1$ 的渐近线为 $y=\pm \frac{1}{2}x$。 与 $x=2$ 联立，解得 $E_1(2,1),E_2(2,-1)$。
2. 表示向量 $\overrightarrow{OP}$： $\overrightarrow{e_1}=(2,1),\overrightarrow{e_2}=(2,-1)$。 $\overrightarrow{OP}=a(2,1)+b(2,-1)=(2a+2b,a-b)$。
3. 代入双曲线方程： 点 $P(2a+2b,a-b)$ 在双曲线 $\frac{x^2}{4}-y^2=1$ 上，代入坐标列式并化简关系。

✅【答案】

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$4ab=1$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求渐近线与交点坐标 双曲线 $\Gamma :\frac{x^2}{4}-y^2=1$ 中，$a^2=4,b^2=1$，渐近线方程为： $y=\pm \frac{1}{2}x$

将 $x=2$ 代入渐近线方程： $y=\pm 1$ 故 $E_1(2,1)$，$E_2(2,-1)$。

所以向量基底坐标为： $\overrightarrow{e_1}=(2,1),\overrightarrow{e_2}=(2,-1)$

第二步：用 $a,b$ 表示点 $P$ 的坐标 设 $P(x,y)$，已知 $\overrightarrow{OP}=a\overrightarrow{e_1}+b\overrightarrow{e_2}$： $(x,y)=a(2,1)+b(2,-1)=(2a+2b,a-b)$

即： $\{\begin{array}{l}x=2a+2b=2(a+b)\\ y=a-b\end{array}$

第三步：代入双曲线方程求 $a,b$ 的关系 因为点 $P(x,y)$ 在双曲线 $\frac{x^2}{4}-y^2=1$ 上： $\frac{[2(a+b){]}^2}{4}-(a-b{)}^2=1$ $\frac{4(a+b{)}^2}{4}-(a-b{)}^2=1$ $(a+b{)}^2-(a-b{)}^2=1$

展开化简： $(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)=1$ $4ab=1\left(\text{或 }ab=\frac{1}{4}\right)$

故答案为：$4ab=1$（或 $ab=\frac{1}{4}$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线渐近线方程 $y=\pm \frac{b}{a}x$、向量的坐标加法、双曲线方程代换。
2. 核心方法：用基底表示点 $P$ 的直角坐标 $\to$ 代入双曲线标准方程展开化简。
3. 避坑指南：注意 $x^2/4$ 代入时 $x=2(a+b)$ 平方后分母 4 恰好消去，计算需细心。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：渐近线作为斜坐标系基底的坐标转换问题。
2. 结论推广：对双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，以渐近线上对应向量为基底 $\overrightarrow{OP}=\alpha \overrightarrow{e_1}+\beta \overrightarrow{e_2}$，动点在曲线上恒满足 $4\alpha \beta =1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程
• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积
• 2011-上海卷文-18 单-向量和与重心