2010-北京卷理-02 单-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的基本通项公式及性质。重点在于通过首项和公比将等比数列的连续项乘积转化为指数方程进行求解。

📌【题干】

Question

（2010年北京卷(理)） 在等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1$，公比 $|q|\ne 1$．若 $a_m=a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5$，则 $m=($\quad\quad$)$

A. 9　　　　　　　B. 10　　　　　　　C. 11　　　　　　　D. 12

🔍【思路分析】

破题导航

1. 借助等比数列通项公式 $a_n=a_1{q}^{n-1}$，将等式两边统一用首项 $a_1$ 和公比 $q$ 表达。

2. 利用同底数幂乘法法则化简右侧乘积项，对比两侧 $q$ 的指数构建方程求解 $m$。

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C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\{a_n\}$ 是等比数列，且 $a_1=1$， 所以通项公式可简化为 $a_n=q^{n-1}$． 将通项公式代入已知等式中： 左边 $=a_m=q^{m-1}$ 右边 $=a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5=1\cdot q\cdot q^2\cdot q^3\cdot q^4=q^{1+2+3+4}=q^{10}$ 因此有： $q^{m-1}=q^{10}$ 因为 $|q|\ne 1$ 且 $q\ne 0$，所以指数必然相等，即： $m-1=10⟹m=11$ 正确答案为：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列通项公式的代数变形与指数运算律。

2. 核心方法：统一底数法。将各高阶项转化为基底 $a_1$ 和 $q$ 的幂次组合。

3. 避坑指南：右边多项相乘时，极易将指数错加为 $1+2+3+4+5=15$，需牢记第 $n$ 项的 $q$ 的指数为 $n-1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源: 本题源于等比数列前 $n$ 项积的通用性质。在等比数列中，前 $n$ 项积常表示为 $T_n=a_1^n{q}^{\frac{n(n-1)}{2}}$。

5. 结论推广: 若等比数列首项 $a_1=1$，则前 $n$ 项的乘积等于第 $\frac{n(n-1)}{2}+1$ 项，即 ${\prod }_{i=1}^n{a}_i=a_{\frac{n(n-1)}{2}+1}$。本题中 $n=5$，故对应项号为 $\frac{5\times 4}{2}+1=11$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-18 单-等比数列
• 2011-北京卷文-12 填-等比数列求和
• 2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件