2010-北京卷理-05 单-极坐标

本题导读

本题将线性规划的可行域与指数函数的图象存在性问题创新性地结合在一起。解题核心在于精准画出平面可行域，认识到其为向右上方无限延伸的无界通道，再利用指数函数的动态图象特征，通过捕捉临界边界求解底数范围。

📌【题干】

Question

（2010年北京卷(理)） 设不等式组 $\{\begin{array}{l}x+y-11\ge 0\\ 3x-y+3\ge 0\\ 5x-3y+9\le 0\end{array}$ 表示的平面区域为 $D$．若指数函数 $y=a^x$ 的图象上存在区域 $D$ 内的点，则 $a$ 的取值范围是()

A. $(1,3]$　　　　B. $[2,3]$　　　　C. $(1,2]$　　　　D. $[3,+\infty )$

🔍【思路分析】

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1. 绘制可行域：求出三条边界直线的两两交点，确定区域 $D$ 的精确空间轮廓。

2. 分析图形特征：计算出顶点 $A(2,9)$ 和 $C(3,8)$，判定区域 $D$ 是在 $x\ge 2$ 的右侧、夹在两条射线之间的无界区域。

3. 捕捉临界状态：由于当 $a>1$ 时，指数函数随 $x\to +\infty$ 呈爆炸式增长，总能穿过该向右无限延伸的区域，因此只需其不从区域的左上方漏过去即可。通过让曲线经过上限顶点 $A(2,9)$ 锁定临界上界。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

首先确定不等式组表示的平面区域 $D$ 的边界交点： 令 $l_1:x+y-11=0$，$l_2:3x-y+3=0$，$l_3:5x-3y+9=0$。

• 联立 $l_1$ 与 $l_2$，解得交点 $A(2,9)$；
• 联立 $l_1$ 与 $l_3$，解得交点 $C(3,8)$；
• 联立 $l_2$ 与 $l_3$，解得交点 $B(0,3)$。

根据不等式组的符号方向，区域 $D$ 需满足 $y\ge 11-x$ 且 $y\le 3x+3$ 且 $y\ge \frac{5}{3}x+3$。 分析可知，点 $B(0,3)$ 不满足 $l_1$ 条件，真正的区域 $D$ 是以 $A(2,9)$ 和 $C(3,8)$ 为边界顶点的无界区域，在 $x$ 轴正方向上向右上方无限延伸。

要使指数函数 $y=a^x$ 的图象上存在区域 $D$ 内的点：

1. 若 $a\le 1$，指数函数为常数或单调递减，而区域 $D$ 内的所有点均满足 $y\ge 8$，显然无交点，故必有 $a>1$。
2. 当 $a>1$ 时，由于指数函数的增长速度远大于线性函数，只要 $a^x$ 的图象不完全在直线 $l_2:y=3x+3$ 的上方，它在向右延伸的过程中就必然会进入该无界通道。
3. 临界状态为图象经过区域的左上边界顶点 $A(2,9)$，代入得： $a^2=9⟹a=3(\text{因 }a>1)$

• 当 $a>3$ 时，在 $x\ge 2$ 时恒有 $a^x>3^x\ge 3x+3$，图象完全位于区域 $D$ 的上方，无交点；
• 当 $1<a\le 3$ 时，图象必定会穿过无界区域 $D$（例如 $a=2$ 时，图象经过 $C(3,8)$，当 $x>3$ 时完全进入区域内部）。

综上所述，$a$ 的取值范围是 $(1,3]$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划可行域的无界性判定、指数函数的图象特征、函数图象存在性交点问题。
2. 核心方法：数形结合法、增长速度差异法、临界状态代入法。
3. 避坑指南：

• 习惯性思维误区：许多考生习惯性地认为可行域都是封闭的三角形，从而盲目代入所有顶点计算。

• 概念理解漏洞：未能理解无界区域中“增长速度”的决定性作用，误以为 $a$ 太小时无法触及区域，从而漏掉 $(1,2)$ 区间，错选 B。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于对传统线性规划求最值问题的创新性发展，将静态的线性区域与动态的非线性初等函数（指数函数）融合，深度考查高等数学中关于函数增长快慢（阶的概念）的数形思维。

2. 结论推广: 对于由两条斜率大于 0 的直线围成的向右下方无界区域，任何底数 $a>1$ 的指数函数，总存在足够大的 $x$ 使得其函数值超过下边界。因此，曲线能否与区域相交，完全取决于它在起始段是否能低于上边界。

🔗【关联脉络】

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