2010-北京卷理-09 填-复数

本题导读

本题考查复数的代数运算以及复数与复平面内点的对应关系。解题核心在于通过分子、分母同乘共轭复数将复数化为代数形式 $a+b\text{i}$，进而确定其对应的点坐标。

📌【题干】

Question

（2010年北京卷(理)） 在复平面内，复数 $\frac{2\text{i}}{1-\text{i}}$ 对应的点的坐标为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 复数代数形式化简：分子与分母同乘以分母的共轭复数 $1+\text{i}$，利用 ${\text{i}}^2=-1$ 化简复数。

2. 确定复平面坐标：由复数的实部对应横坐标，虚部对应纵坐标，直接写出点的坐标。

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$(-1,1)$

✍【详细解析】

Abstract

将复数进行分母实数化处理： $\frac{2\text{i}}{1-\text{i}}=\frac{2\text{i}(1+\text{i})}{(1-\text{i})(1+\text{i})}=\frac{2\text{i}+2{\text{i}}^2}{1-{\text{i}}^2}$ 因为 ${\text{i}}^2=-1$，代入上式得： $\frac{2\text{i}-2}{1-(-1)}=\frac{-2+2\text{i}}{2}=-1+\text{i}$ 根据复数的几何意义，复数 $-1+\text{i}$ 的实部为 $-1$，虚部为 1。 所以在复平面内，其对应的点的坐标为 $(-1,1)$。

填空答案：$(-1,1)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的除法运算、复数的几何意义。

2. 核心方法：分母实数化（乘共轭复数）。

3. 避坑指南：注意虚部是 $\text{i}$ 的系数，坐标表示时不能写成 $(-1,\text{i})$，必须是实数对的形式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于高考复数板块的常规基础题，直接考查考试大纲中要求的复数基本四则运算及复平面的概念。

2. 结论推广: 任意复数 $z=\frac{a+b\text{i}}{c+d\text{i}}$（$c^2+d^2\ne 0$）均可通过共轭变换化为 $\frac{(ac+bd)+(bc-ad)\text{i}}{c^2+d^2}$，其在复平面对应的坐标为 $\left(\frac{ac+bd}{c^2+d^2},\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\right)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-19 解-复数运算
• 2011-上海卷理-19 解-复数
• 2011-北京卷文-02 单-复数除法运算