2010-北京卷理-13 填-椭圆

本题导读

本题考查椭圆与双曲线的基础几何性质。解题核心在于通过已知椭圆方程求出其焦点坐标，再结合双曲线的离心率定义建立基本量 $a,b,c$ 的方程组，从而确定双曲线的性质。

📌【题干】

Question

（2010年北京卷(理)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$) 的离心率为 2，焦点与椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ 的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为$\underline{}$；渐近线方程为$\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 求椭圆焦点：根据椭圆方程提取 $a^2,b^2$，利用 $c^2=a^2-b^2$ 算出焦点，即为双曲线的焦点。

2. 求双曲线基本量：利用双曲线的离心率 $e=\frac{c}{a}=2$ 及已知的 $c$ 值算出 $a$，进而由 $b^2=c^2-a^2$ 算出 $b$。

3. 写出渐近线：根据焦点在 $x$ 轴上的双曲线渐近线公式 $y=\pm \frac{b}{a}x$ 直接写出方程。

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$(\pm 4,0)$

✍【详细解析】

Abstract

对于椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$，显然焦点在 $x$ 轴上，其中 $a_{\text{椭}}^2=25,b_{\text{椭}}^2=9$． 则其半焦距为： $c_{\text{椭}}=\sqrt{a_{\text{椭}}^2-b_{\text{椭}}^2}=\sqrt{25-9}=4$ 故椭圆的焦点坐标为 $(\pm 4,0)$．

因为双曲线与该椭圆的焦点相同，所以双曲线的焦点坐标亦为 $(\pm 4,0)$，即双曲线的半焦距 $c=4$． 又已知双曲线的离心率 $e=2$，根据离心率公式有： $e=\frac{c}{a}=2⟹\frac{4}{a}=2⟹a=2$ 在双曲线中，基本量满足 $c^2=a^2+b^2$，则： $b^2=c^2-a^2=4^2-2^2=12⟹b=2\sqrt{3}$

由于双曲线的焦点在 $x$ 轴上，其渐近线方程格式为 $y=\pm \frac{b}{a}x$． 代入 $a,b$ 的值可得： $y=\pm \frac{2\sqrt{3}}{2}x=\pm \sqrt{3}x$

填空答案：$(\pm 4,0)$；$y=\pm \sqrt{3}x$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线的渐近线与离心率、椭圆的焦点、同焦曲线。
2. 核心方法：公式法。
3. 避坑指南：

• 关系式混淆：最易错的地方是混淆椭圆与双曲线中 $a,b,c$ 的几何关系。椭圆中 $a^2=b^2+c^2$，而双曲线中 $c^2=a^2+b^2$，在计算 $b^2$ 时务必看清曲线类型。

• 渐近线形式：焦点在 $x$ 轴上的双曲线渐近线为 $y=\pm \frac{b}{a}x$，若焦点在 $y$ 轴上则为 $y=\pm \frac{a}{b}x$，公式选用要准确。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是高考解析几何客观题中的经典常考题型，将两类圆锥曲线通过“共焦点”这一纽带进行有机的交叉缝合。

2. 结论推广: 若双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的离心率为 $e$，则其渐近线倾斜角的正切值绝对值 $\frac{b}{a}=\sqrt{e^2-1}$．本题中 $e=2$，故斜率 $k=\pm \sqrt{2^2-1}=\pm \sqrt{3}$，可直接秒杀。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2011-浙江卷文-09 单-椭圆与双曲线渐近线
• 2011-浙江卷理-08 单-椭圆双曲线
• 2012-山东卷理-10 单-椭圆与双曲线