2010-四川卷理-15 填-解三角形

本题导读

本题考查二面角背景下斜线与平面所成角的正弦值计算，可利用“三正弦公式”极速求解。

📌【题干】

Question

（2010年四川卷(理)）如图，二面角 $α - l - β$ 的大小是 $6 0^{\circ}$ ， $A B \subset α$ ， $B \in l$ ， $A B$ 与 $l$ 所成的角为 $3 0^{\circ}$ ，则 $A B$ 与平面 $β$ 所成角的正弦值是.

🔍【思路分析】

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概念与原理：设 $A B$ 与平面 $α$ 内棱 $l$ 的夹角为 $θ_{1} = 3 0^{\circ}$ ，二面角 $α - l - β$ 为 $θ_{2} = 6 0^{\circ}$ ， $A B$ 与平面 $β$ 所成的角为 $θ$ 。

应用三正弦公式：斜线与平面所成角的正弦值等于斜线与棱夹角的正弦值乘以二面角的正弦值，即 $sin θ = sin θ_{1} \cdot sin θ_{2}$ 。

代入计算： $sin θ = sin 3 0^{\circ} \cdot sin 6 0^{\circ}$ 。

✅【答案】

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$\frac{3}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

方法一：公式法（三正弦公式） 设斜线 $A B$ 与平面 $β$ 所成的角为 $θ$ 。已知：

$A B$ 与棱 $l$ 所成的角 $θ_{1} = 3 0^{\circ}$ ；

二面角 $α - l - β$ 的平面角 $θ_{2} = 6 0^{\circ}$ 。

根据三正弦定理（斜线与面所成角的正弦定理）： $sin θ = sin θ_{1} \cdot sin θ_{2}$

代入数据计算： $sin θ = sin 3 0^{\circ} \times sin 6 0^{\circ} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$

方法二：几何构造法（作垂线） 设 $A B = 2$ 。过 $A$ 作平面 $β$ 的垂线，垂足为 $H$ ；过 $A$ 作棱 $l$ 的垂线，垂足为 $C$ ，连接 $H C$ 。则 $∠ A C H$ 为二面角 $α - l - β$ 的平面角，即 $∠ A C H = 6 0^{\circ}$ 。 $∠ A B H$ 为线 $A B$ 与平面 $β$ 所成的角 $θ$ 。

在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 3 0^{\circ}$ ， $A B = 2 ⟹ A C = A B \cdot sin 3 0^{\circ} = 2 \times \frac{1}{2} = 1$ 。

在 $Rt △ A C H$ 中， $∠ A C H = 6 0^{\circ} ⟹ A H = A C \cdot sin 6 0^{\circ} = 1 \times \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$ 。

在 $Rt △ A B H$ 中： $sin θ = \frac{A H}{A B} = \frac{\frac{3}{2}}{2} = \frac{3}{4}$

故答案为： $\frac{3}{4}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二面角与线面角的几何推导及三正弦公式。

核心方法：三正弦公式 $sin (线面角) = sin (线棱角) \times sin (二面角)$ 。

避坑指南：区分三余弦定理（求线线角）与三正弦公式（求线面角正弦值），勿将余弦与正弦公式记反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：立体几何角与角关系的经典定理考查题。

结论推广：若斜线与面内直线夹角为 $θ_{1}$ ，二面角为 $θ_{2}$ ，斜线与另一半平面所成角为 $θ$ ，则恒有 $sin θ = sin θ_{1} sin θ_{2}$ 。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

2011-重庆卷文-08 单-正弦余弦定理定边

2012-重庆卷文-13 填-余弦定理与正弦定理

2014-福建卷理-12 填-正弦定理与余弦定理的综合应用

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2010-四川卷理-15 填-解三角形

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