本题导读
本题考查复数集非空子集“封闭集”的新定义，要求通过代数运算验证加、减、乘的封闭性，并利用反例判定命题真伪。
📌【题干】
Question
（2010年四川卷(理)） 16. 设 为复数集 的非空子集. 若对任意 ，都有 ，则称 为封闭集. 下列命题： ① 集合 为封闭集； ② 若 为封闭集，则一定有 ； ③ 封闭集一定是无限集； ④ 若 为封闭集，则满足 的任意集合 也是封闭集. 其中真命题是.（写出所有真命题的序号）
🔍【思路分析】
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- 验证 ①：任取 ，验证加、减、乘的结果是否仍可写成“整数 + 整数”的形式（高斯整数环）。
- 验证 ②：由于 非空，至少存在元素 ，取 ，则 必成立。
- 验证 ③（反例）：思考是否存在包含有限个元素的封闭集。考虑单元素集合 ，验证 ，满足定义且为有限集。
- 验证 ④（反例）：考虑扩大包含封闭集的集合 是否仍封闭。例如 是封闭集，扩大为 ，因 ，故 不封闭。
✅【答案】
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①②
✍【详细解析】
Abstract
逐一分析各命题：
对于 ①： 设 ，其中 。
加法：，因为 ，所以 ；
减法：，因为 ，所以 ；
乘法：，因为 ，所以 。 满足封闭集定义，① 为真命题。
对于 ②： 因为 是非空子集，所以存在至少一个元素 。 在封闭集定义中取 ，由减法封闭性可得： 即任何封闭集必包含元素 ，② 为真命题。
对于 ③： 构造反例：设集合 。 由于 为非空集，对 中唯一的元素 ：
；
；
。 所以 是封闭集，但 为有限集。 故“封闭集一定是无限集”说法错误，③ 为假命题。
对于 ④： 构造反例：取封闭集 ，设集合 。 显然 。 然而在 中，取 ，则 。 所以 不是封闭集。 故“任意集合 也是封闭集”说法错误，④ 为假命题。
综上所述，真命题的序号为 ①②。
故答案为：①②
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：集合的“封闭”新定义与反例构造法。
- 核心方法：
- 证明全称命题用代数推理（如 ①、②）；
- 否定全称命题举特例（如用 否定 ③，用 否定 ④）。
- 避坑指南：第 ② 问注意已知“ 为非空子集”，故必有元可取；第 ③ 问切勿忽略零单元素集合 。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：源于高等代数中的“代数结构（环/域）的封闭性”。高斯整数集 为典型的加减乘封闭环。
- 结论推广：对非空复数子集 ，若对加减乘封闭，则 恒成立；若还包含非零元素 ，则包含全部整数集 。
🔗【关联脉络】
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