2010-四川卷理-21 解-等差数列

本题导读

本题为四川卷压轴题，考查二元递推数列关系的拆解、等差数列的证明，以及形如“等差 $\times$ 等比”数列的错位相减法求和。

📌【题干】

Question

（2010年四川卷(理)） 21. 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=0,a_2=2$，且对任意 $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 都有 $a_{2m-1}+a_{2n-1}=2a_{m+n-1}+2(m-n{)}^2.$

(1) 求 $a_3,a_5$；

(2) 设 $b_n=a_{2n+1}-a_{2n-1}(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$，证明：数列 $\{b_n\}$ 是等差数列；

(3) 设 $c_n=(a_{n+1}-a_n)q^{n-1}(q\ne 0,n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$，求数列 $\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 (1) 问（赋值法）：

• 令 $m=2,n=1$：$a_3+a_1=2a_2+2(2-1{)}^2$，已知 $a_1=0,a_2=2$，代入求 $a_3$。
• 令 $m=3,n=1$：$a_5+a_1=2a_3+2(3-1{)}^2$，代入求 $a_5$。

2. 第 (2) 问（证明等差数列）：

• 在已知递推式中，取 $m=n+1$：$a_{2n+1}+a_{2n-1}=2a_{2n}+2(1{)}^2⟹a_{2n+1}+a_{2n-1}=2a_{2n}+2$。
• 取 $m=n+2,n=n$（或利用下标关系）：用赋值法导出奇数项的递推关系 $a_{2n+3}+a_{2n-1}=2a_{2n+1}+8$。
• 变形得 $a_{2n+3}-a_{2n+1}=a_{2n+1}-a_{2n-1}+8⟹b_{n+1}-b_n=8$，证明 $\{b_n\}$ 是公差为 $8$ 的等差数列。

3. 第 (3) 问（求和）：

• 先求出通项 $a_n$ 的表达式（通过偶数项与奇数项的对应关系，可归纳得出 $a_n=(n-1{)}^2$）。
• 求出 $a_{n+1}-a_n=n^2-(n-1{)}^2=2n-1$。
• $c_n=(2n-1)q^{n-1}$，属于“等差 $\times$ 等比”结构，当 $q=1$ 时直接分组求和；当 $q\ne 1$ 时用错位相减法求解 $S_n$。

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**：$S_n=\{\begin{array}{ll}{n}^2,& q=1\\ \frac{1+q-(2n+1)q^n+(2n-1)q^{n+1}}{(1-q{)}^2},& q\ne 1\text{ 且 }q\ne 0\end{array}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求 $a_3,a_5$ 的值

已知 $a_1=0,a_2=2$，递推公式为： $a_{2m-1}+a_{2n-1}=2a_{m+n-1}+2(m-n{)}^2$

• 求 $a_3$： 在递推式中，取 $m=2,n=1$： $a_{2(2)-1}+a_{2(1)-1}=2a_{2+1-1}+2(2-1{)}^2⟹a_3+a_1=2a_2+2$ 代入 $a_1=0,a_2=2$： $a_3+0=2(2)+2⟹a_3=6$

• 求 $a_5$： 在递推式中，取 $m=3,n=1$： $a_{2(3)-1}+a_{2(1)-1}=2a_{3+1-1}+2(3-1{)}^2⟹a_5+a_1=2a_3+8$ 代入 $a_1=0,a_3=6$： $a_5+0=2(6)+8⟹a_5=20$

故 $a_3=6,a_5=20$.

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(2) 证明：数列 $\{b_n\}$ 是等差数列

已知 $b_n=a_{2n+1}-a_{2n-1}(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$.

在已知递推式 $a_{2m-1}+a_{2n-1}=2a_{m+n-1}+2(m-n{)}^2$ 中： 取 $m=n+2$： $a_{2n+3}+a_{2n-1}=2a_{n+2+n-1}+2(n+2-n{)}^2$ $a_{2n+3}+a_{2n-1}=2a_{2n+1}+8\text{(1)}$

由 ① 式可变形为： $a_{2n+3}-a_{2n+1}=a_{2n+1}-a_{2n-1}+8$

根据 $b_n$ 的定义，$b_{n+1}=a_{2n+3}-a_{2n+1}$ 且 $b_n=a_{2n+1}-a_{2n-1}$，代入上式得： $b_{n+1}=b_n+8⟹b_{n+1}-b_n=8(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$

又首项 $b_1=a_3-a_1=6-0=6$.

所以，数列 $\{b_n\}$ 是以 $6$ 为首项，$8$ 为公差的等差数列.

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(3) 求数列 $\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$

由 (2) 知 $\{b_n\}$ 是首项为 $6$，公差为 $8$ 的等差数列： $b_n=6+(n-1)\times 8=8n-2$

因为 $b_k=a_{2k+1}-a_{2k-1}$，由累加法可得奇数项通项： $a_{2n-1}=a_1+{\sum }_{k=1}^{n-1}{b}_k=0+\frac{(n-1)(b_1+b_{n-1})}{2}=\frac{(n-1)[6+8(n-1)-2]}{2}=4(n-1{)}^2=(2n-2{)}^2$

再在原递推式中取 $m=n+1$： $a_{2n+1}+a_{2n-1}=2a_{2n}+2(1{)}^2⟹2a_{2n}=a_{2n+1}+a_{2n-1}-2$ 代入 $a_{2n-1}=(2n-2{)}^2$ 及 $a_{2n+1}=(2n{)}^2$： $2a_{2n}=4n^2+4n^2-8n+4-2=8n^2-8n+2⟹a_{2n}=(2n-1{)}^2$

综合奇数项 $a_{2n-1}=(2n-2{)}^2$ 与偶数项 $a_{2n}=(2n-1{)}^2$，可归纳得出数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为： $a_n=(n-1{)}^2(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$

计算邻项之差： $a_{n+1}-a_n=n^2-(n-1{)}^2=2n-1$

所以 $c_n=(2n-1)q^{n-1}$.

求数列 $\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n={\sum }_{k=1}^n(2k-1)q^{k-1}$：

情况 1：当 $q=1$ 时 $c_n=2n-1$ $S_n=1+3+5+\cdots +(2n-1)=\frac{n(1+2n-1)}{2}=n^2$

情况 2：当 $q\ne 1$ 时 $S_n=1\cdot 1+3\cdot q+5\cdot q^2+\cdots +(2n-1)q^{n-1}\text{(2)}$

两边同乘以 $q$： $q{S}_n=1\cdot q+3\cdot q^2+\cdots +(2n-3)q^{n-1}+(2n-1)q^n\text{(3)}$

②式减去③式： $(1-q)S_n=1+2q+2q^2+\cdots +2q^{n-1}-(2n-1)q^n$ $(1-q)S_n=1+2\left(q+q^2+\cdots +q^{n-1}\right)-(2n-1)q^n$ $(1-q)S_n=1+2\cdot \frac{q(1-q^{n-1})}{1-q}-(2n-1)q^n$ $(1-q)S_n=\frac{(1-q)+2q-2q^n-(2n-1)q^n(1-q)}{1-q}$ $(1-q)S_n=\frac{1+q-2q^n-(2n-1)q^n+(2n-1)q^{n+1}}{1-q}$ $(1-q)S_n=\frac{1+q-(2n+1)q^n+(2n-1)q^{n+1}}{1-q}$

两边同除以 $(1-q)$： $S_n=\frac{1+q-(2n+1)q^n+(2n-1)q^{n+1}}{(1-q{)}^2}$

综上所述： $S_n=\{\begin{array}{ll}{n}^2,& q=1\\ \frac{1+q-(2n+1)q^n+(2n-1)q^{n+1}}{(1-q{)}^2},& q\ne 1\text{ 且 }q\ne 0\end{array}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：赋值法解双变元递推式、累加法求奇偶项通项、错位相减法求和。
2. 核心方法：

• 证明等差：取 $m=n+2$ 导出 $a_{2n+3}-a_{2n+1}=a_{2n+1}-a_{2n-1}+8⟹b_{n+1}-b_n=8$；
• 错位相减：乘公比 $q$ 错位相减后，中间项为等比数列求和。

3. 避坑指南：第 (3) 问求和时必须对 $q=1$ 和 $q\ne 1$ 分类讨论，若遗漏 $q=1$ 会导致分母 $1-q=0$ 而出错扣分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：上海/四川压轴题中二元抽象递推关系的代表作（与二次函数 $a_n=(n-1{)}^2$ 结构对应）。
2. 结论推广：对任意满足 $f(2m-1)+f(2n-1)=2f(m+n-1)+2(m-n{)}^2$ 的函数，其二次项系数为 $1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-22 解-等差数列
• 2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件
• 2011-大纲卷文-06 单-等差数列片段和