2010-大纲卷I理-01 单-复数

本题导读

本题考查复数的代数除法运算，核心在于通过分母实数化或巧妙提取虚数单位 $\mathrm{i}$ 简化计算。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷I(理)） 复数 $\frac{3+2\mathrm{i}}{2-3\mathrm{i}}=$()

A. $\mathrm{i}$　　　　B. $-\mathrm{i}$　　　　C. $12-13\mathrm{i}$　　　　D. $12+13\mathrm{i}$

🔍【思路分析】

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1. 方法一（常规法）：分子分母同乘以分母的共轭复数 $2+3\mathrm{i}$ 进行分母实数化。

2. 方法二（巧解法）：观察分子 $3+2\mathrm{i}$ 与分母 $2-3\mathrm{i}$ 的系数特征，尝试在分子中提取 $\mathrm{i}$。

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A

✍【详细解析】

Abstract

解析一（常规通法）： $\frac{3+2\mathrm{i}}{2-3\mathrm{i}}=\frac{(3+2\mathrm{i})(2+3\mathrm{i})}{(2-3\mathrm{i})(2+3\mathrm{i})}=\frac{6+9\mathrm{i}+4\mathrm{i}-6}{4-9{\mathrm{i}}^2}=\frac{13\mathrm{i}}{13}=\mathrm{i}$。

解析二（特殊巧解）： 因为 $3+2\mathrm{i}=-3{\mathrm{i}}^2+2\mathrm{i}=\mathrm{i}(2-3\mathrm{i})$， 所以 $\frac{3+2\mathrm{i}}{2-3\mathrm{i}}=\frac{\mathrm{i}(2-3\mathrm{i})}{2-3\mathrm{i}}=\mathrm{i}$。 答案：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数除法法则，虚数单位性质 ${\mathrm{i}}^2=-1$。

2. 核心方法：分母实数化、因式提取法。

3. 避坑指南：分子分母展开时，注意 $2\mathrm{i}\cdot 3\mathrm{i}=-6$ 符号的变化，防止计算失误导致选错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材复数基本运算的课后习题，是高考第一题的经典送分题型。

2. 结论推广：对于形如 $\frac{a+b\mathrm{i}}{b-a\mathrm{i}}$ 的复数，分子可变形为 $\mathrm{i}(b-a\mathrm{i})$，因此其计算结果恒为 $\mathrm{i}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-19 解-复数运算
• 2011-上海卷理-19 解-复数
• 2011-北京卷文-02 单-复数除法运算