2010-大纲卷I理-04 单-等比数列

本题导读

本题考查各项均为正数的等比数列的乘积性质，核心考查通过等比中项的乘积特征将已知连续项的乘积整体转化为中心项的幂次关系。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷I(理)）已知各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ ， $a_{1} a_{2} a_{3} = 5$ ， $a_{7} a_{8} a_{9} = 10$ ，则 $a_{4} a_{5} a_{6} =$ ()

A. $52$ 　　　　　　　B. 7　　　　　　　C. 6　　　　　　　D. $42$

🔍【思路分析】

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根据等比数列性质，若 $i + j = 2 m$ ，则 $a_{i} \cdot a_{j} = a_{m}^{2}$ ，因此连续三项之积可以转化为中心项的立方。

分别化简 $a_{1} a_{2} a_{3} = a_{2}^{3} = 5$ 与 $a_{7} a_{8} a_{9} = a_{8}^{3} = 10$ 。

目标式 $a_{4} a_{5} a_{6} = a_{5}^{3}$ 。利用 $a_{2}, a_{5}, a_{8}$ 仍成等比数列的性质建立方程求解。

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为 ${a_{n}}$ 是等比数列，由等比中项性质得： $a_{1} \cdot a_{3} = a_{2}^{2} ⟹ a_{1} a_{2} a_{3} = a_{2}^{3} = 5$ ； $a_{7} \cdot a_{9} = a_{8}^{2} ⟹ a_{7} a_{8} a_{9} = a_{8}^{3} = 10$ 。同样地，目标式 $a_{4} a_{5} a_{6} = a_{5}^{3}$ 。又因为在等比数列中，等距项 $a_{2}, a_{5}, a_{8}$ 构成新的等比数列，所以 $a_{5}^{2} = a_{2} \cdot a_{8} ⟹ (a_{5}^{3})^{2} = a_{2}^{3} \cdot a_{8}^{3}$ 。代入已知数据得： $(a_{4} a_{5} a_{6})^{2} = 5 \times 10 = 50$ 。由于数列各项均为正数，故其乘积必为正数： $a_{4} a_{5} a_{6} = 50 = 52$ 。答案：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比中项性质 $a_{m - k} \cdot a_{m + k} = a_{m}^{2}$ 。

核心方法：中心项等价代换法。

避坑指南：本题不需要求出首项 $a_{1}$ 和公比 $q$ 的具体值，通过整体项的幂次直接过渡可以大幅缩减运算时间。注意各项为正数的限制条件，确保开方取正值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题源自等比数列中“积数列”的性质。若 ${a_{n}}$ 是等比数列，则其等长片段的积组成的数列 $A_{1} = a_{1} a_{2} a_{3}$ , $A_{2} = a_{4} a_{5} a_{6}$ , $A_{3} = a_{7} a_{8} a_{9}$ 仍为等比数列。

结论推广：由上述性质， $A_{2}^{2} = A_{1} \cdot A_{3} ⟹ A_{2} = A_{1} \cdot A_{3} = 5 \times 10 = 52$ 。

🔗【关联脉络】

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