2010-大纲卷I理-07 单-立体几何

本题导读

本题考查正方体中线面角的求解。核心在于通过线线平行将不在同一个顶点的线面关系集中，再通过建立空间直角坐标系利用法向量定量计算线面角的三角函数值。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷I(理)） 正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$B{B}_1$ 与平面 $AC{D}_1$ 所成角的余弦值为()

A. $\frac{\sqrt{2}}{3}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　C. $\frac{2}{3}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{6}}{3}$

🔍【思路分析】

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1. 观察正方体特征，棱 $B{B}_1\parallel A{A}_1$，故 $B{B}_1$ 与平面 $AC{D}_1$ 所成的角等价于 $A{A}_1$ 与平面 $AC{D}_1$ 所成的角。

2. 以 $A$ 为原点建立空间直角坐标系，求出平面 $AC{D}_1$ 的法向量。

3. 利用线面角正弦值与法向量夹角余弦值的绝对值相等的关系，先算出正弦值，再通过同角三角函数平方关系求出余弦值。

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D

✍【详细解析】

Abstract

在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，因为 $B{B}_1\parallel A{A}_1$， 所以 $B{B}_1$ 与平面 $AC{D}_1$ 所成角等于 $A{A}_1$ 与平面 $AC{D}_1$ 所成角。 以 $A$ 为原点，$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{A{A}_1}$ 所在直线分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。 设正方体棱长为 1，则各点坐标为： $A(0,0,0)$，$C(1,1,0)$，$D_1(0,1,1)$，$A_1(0,0,1)$。 则 $\overrightarrow{AC}=(1,1,0)$，$\overrightarrow{A{D}_1}=(0,1,1)$，$\overrightarrow{A{A}_1}=(0,0,1)$。 设平面 $AC{D}_1$ 的一个法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$， 则 $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{AC}=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{A{D}_1}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x+y=0\\ y+z=0\end{array}$， 令 $x=1$，解得 $y=-1$，$z=1$，得 $\vec{n}=(1,-1,1)$。 设 $A{A}_1$ 与平面 $AC{D}_1$ 所成的角为 $\theta$，则： $\sin \theta =|\cos ⟨\overrightarrow{A{A}_1},\vec{n}⟩|=\frac{|\overrightarrow{A{A}_1}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{A{A}_1}|\cdot |\vec{n}|}=\frac{|0\times 1+0\times (-1)+1\times 1|}{1\times \sqrt{1^2+(-1{)}^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。 因为 $\theta$ 为线面角，$\theta \in [0,\frac{\pi }{2}]$， 所以 $\cos \theta =\sqrt{1-{\sin }^2\theta }=\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。 答案：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面角的向量求法 $\sin \theta =\frac{|\vec{v}\cdot \vec{n}|}{|\vec{v}||\vec{n}|}$。

2. 核心方法：建系坐标化，将空间几何位置关系完全转化为代数运算。

3. 避坑指南：题目要求的是线面角的余弦值，通过向量公式直接求出的是线面角的正弦值，切勿因粗心直接选择对应正弦值的选项 B。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材中空间向量一章关于“立体几何中角与距离的计算”的经典高考改编。平面 $AC{D}_1$ 是正方体中截断体的一个经典截面，它与体对角线 $A_{1}C$ 垂直。

2. 结论推广：在正方体中，任意一条棱与不包含其端点的对角面（如本题中的平面 $AC{D}_1$）所成角的正弦值恒为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$，余弦值恒为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程
• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积
• 2011-上海卷文-18 单-向量和与重心