2010-大纲卷I理-11 单-几何证明

本题导读

本题是一道将平面几何中圆的切线与平面向量数量积相结合的优秀综合题。核心在于引入变量（如圆心到外点的距离），将向量的数量积转化为关于该变量的代数函数，最终利用基本不等式求解其最小值。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷I(理)） 已知圆 $O$ 的半径为 1，$PA,PB$ 为该圆的两条切线，$A,B$ 为两切点，那么 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$ 的最小值为()

A. $-4+\sqrt{2}$　　　　B. $-3+\sqrt{2}$　　　　C. $-4+2\sqrt{2}$　　　　D. $-3+2\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设圆心到外点 $P$ 的距离 $|OP|=d$，由于 $P$ 在圆外，有 $d>1$。

2. 由切线性质知 $OA\perp PA$，在 Rt$△OAP$ 中，切线长 $|\overrightarrow{PA}|=|\overrightarrow{PB}|=\sqrt{d^2-1}$。

3. 设 $\angle APO=\alpha$，则 $\angle APB=2\alpha$。利用直角三角形边角关系表示出 $\cos 2\alpha$ 关于 $d$ 的代数式。

4. 展开数量积 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=|\overrightarrow{PA}||\overrightarrow{PB}|\cos 2\alpha$，化简得到关于 $d^2$ 的结构，利用基本不等式求出最小值。

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D

✍【详细解析】

Abstract

设圆 $O$ 的圆心为 $O$，连接 $OP$，令 $|OP|=d$（$d>1$）。 因为 $PA,PB$ 是圆 $O$ 的切线，所以 $OA\perp PA$，$OB\perp PB$。 在 Rt$△OAP$ 中，因为半径 $OA=1$， 所以切线长 $|\overrightarrow{PA}|=|\overrightarrow{PB}=\sqrt{|OP{|}^2-|OA{|}^2}=\sqrt{d^2-1}$。 设 $\angle APO=\alpha$，根据对称性知 $\angle BPO=\alpha$，所以 $\angle APB=2\alpha$。 在 Rt$△OAP$ 中，$\sin \alpha =\frac{OA}{OP}=\frac{1}{d}$，$\cos \alpha =\frac{PA}{OP}=\frac{\sqrt{d^2-1}}{d}$。 利用二倍角公式，可得两条切线夹角的余弦值为： $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=2\left(\frac{d^2-1}{d^2}\right)-1=\frac{2d^2-2-d^2}{d^2}=\frac{d^2-2}{d^2}=1-\frac{2}{d^2}$。 根据向量数量积定义，有： $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=|\overrightarrow{PA}|\cdot |\overrightarrow{PB}|\cdot \cos 2\alpha =(\sqrt{d^2-1}{)}^2\cdot \left(1-\frac{2}{d^2}\right)$ $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=(d^2-1)\left(1-\frac{2}{d^2}\right)=d^2-2-1+\frac{2}{d^2}=d^2+\frac{2}{d^2}-3$。 因为 $d>1⟹d^2>1$，由基本不等式得： $d^2+\frac{2}{d^2}\ge 2\sqrt{d^2\cdot \frac{2}{d^2}}=2\sqrt{2}$， 当且仅当 $d^2=\frac{2}{d^2}⟹d^4=2⟹d^2=\sqrt{2}$ 时（满足 $d^2>1$），等号成立。 所以 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$ 的最小值为 $2\sqrt{2}-3$（即 $-3+2\sqrt{2}$）。 答案：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量数量积公式、二倍角公式、均值不等式。

2. 核心方法：几何元素转化为单变量函数法。

3. 避坑指南：设变量角时，选择 $\alpha =\angle APO$ 比选择整个夹角 $\theta =\angle APB$ 在三角函数展开时要顺畅得多。化简到 $d^2+\frac{2}{d^2}-3$ 时，必须验证等号成立条件 $d^2=\sqrt{2}$ 是否在定义域 $(1,+\infty )$ 内。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题综合了高一平面向量与高二选修中圆的切线长性质，是典型的“向量为壳，函数为核”的高考命题。

2. 结论推广：对于半径为 $R$ 的圆，外一点 $P$ 向圆引两条切线 $PA,PB$，则 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=d^2+\frac{2R^4}{d^2}-3R^2$。其数量积的最小值恒为 $2\sqrt{2}{R}^2-3R^2=(2\sqrt{2}-3)R^2$。本题中 $R=1$，故极小值即为 $-3+2\sqrt{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程
• 2011-上海卷文-06 填-分式不等式
• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积