2010-大纲卷I理-22 解-数列

本题导读

本题是一道高难度的递推数列综合压轴题。第一问考查分式线性递推数列通项的求法，通过已知构造关系式转化为易解的线性递推关系；第二问考查数列不等式恒成立问题，核心在于将数列的有界性与单调性转化为一元函数的单调区间有界约束。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷I(理)） 已知数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1$，$a_{n+1}=c-\frac{1}{a_n}$．

(1)设 $c=\frac{5}{2}$，$b_n=\frac{1}{a_n-2}$，求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式；

(2)求使不等式 $a_n<a_{n+1}<3$ 成立的 $c$ 的取值范围．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：将 $c=\frac{5}{2}$ 代入递推式得到 $a_{n+1}=\frac{5a_n-2}{2a_n}$。利用已知换元结构，求出 $b_{n+1}$ 关于 $b_n$ 的一阶线性递推式，通过构造等比数列或待定系数法求出 $b_n$。
2. 第二问：不等式 $a_n<a_{n+1}<3$ 对一切 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 恒成立，意味着数列 $\{a_n\}$ 严格单调递增且上界小于 3。

• 考虑函数 $f(x)=c-\frac{1}{x}$，由 $a_1=1<a_2<3$ 可初步锁定 $c$ 的基准界限。

• 利用数学归纳法与单调函数区间特征，令 $f(3)\le 3$ 确保后续项永远无法突破 3，从而推导得出完整的参数区间。

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(1) $b_n=-\frac{4^{n-1}+2}{3}$；(2) $\left(2,\frac{10}{3}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）当 $c=\frac{5}{2}$ 时，递推变形为 $a_{n+1}=\frac{5}{2}-\frac{1}{a_n}=\frac{5a_n-2}{2a_n}$。 因为 $b_n=\frac{1}{a_n-2}$，则： $b_{n+1}=\frac{1}{a_{n+1}-2}=\frac{1}{\frac{5a_n-2}{2a_n}-2}=\frac{2a_n}{5a_n-2-4a_n}=\frac{2a_n}{a_n-2}=\frac{2(a_n-2)+4}{a_n-2}=2+4b_n$。 即 $b_{n+1}=4b_n+2⟹b_{n+1}+\frac{2}{3}=4\left(b_n+\frac{2}{3}\right)$。 首项 $b_1=\frac{1}{a_1-2}=\frac{1}{1-2}=-1$，则 $b_1+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$。 所以数列 $\left\{b_n+\frac{2}{3}\right\}$ 是以 $-\frac{1}{3}$ 为首项，4 为公比的等比数列。 则 $b_n+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}\cdot 4^{n-1}⟹b_n=-\frac{4^{n-1}+2}{3}$。

（2）要使 $a_n<a_{n+1}<3$ 对一切 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 恒成立， 首先考虑 $n=1$ 的情况： $a_1<a_2<3⟹1<c-\frac{1}{1}<3⟹1<c-1<3⟹2<c<4$。 在此基础下，考虑一元函数 $f(x)=c-\frac{1}{x}$。当 $x>0$ 时，$f(x)$ 严格单调递增。 因为 $a_1=1,a_2=c-1>1=a_1$，由 $f(x)$ 的单调性，若 $a_n<a_{n+1}$，则 $f(a_n)<f(a_{n+1})⟹a_{n+1}<a_{n+2}$ 恒成立。 所以，只要保证数列每一项均小于 3，则数列必然严格单调递增。 要使 $a_{n+1}<3$ 恒成立，由于 $a_n<3$，根据函数的单调性，只需满足： $a_{n+1}=f(a_n)<f(3)\le 3$。 即 $c-\frac{1}{3}\le 3⟹c\le \frac{10}{3}$。 联立 $2<c<4$ 与 $c\le \frac{10}{3}$，得 $2<c\le \frac{10}{3}$。 综上所述，使不等式恒成立的 $c$ 的取值范围是 $\left(2,\frac{10}{3}\right]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分式一阶递推数列通项公式转化（不动点与特征方程法）、数列单调性与有界性的递进控制。

2. 核心方法：构造法消去变元，数学归纳与函数映射法解决恒成立问题。

3. 避坑指南：第二问最易漏掉对 $f(3)\le 3$ 的有界临界控制。如果只由 $a_1<a_2<3$ 盲目得出 $2<c<4$，当 $c=3.5$ 时后面的项（如 $a_3$）就会超过 3 导致不合题意。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题第一问背景为高等数学中的不动点理论（分式线性变换）。若方程 $x=c-\frac{1}{x}$ 有两个相异实根 $x_1,x_2$，则数列 $\left\{\frac{a_n-x_1}{a_n-x_2}\right\}$ 必为等比数列。第二问实质考查了离散动力系统中的不动点吸引域问题。

2. 结论推广：对于递推关系 $a_{n+1}=c-\frac{1}{a_n}$ 且 $a_1=1$，要使整个数列严格单调递增趋近于某个上界 $M$，参数 $c$ 必须大于 2 且满足 $c\le M+\frac{1}{M}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-22 解-导数方程与数列不等式
• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式
• 2012-上海卷文-20 解-对数不等式与反函数