2010-大纲卷II文-21 解-三次函数单调与极值点

本题导读

考查三次函数单调与极值。（1）增区间 $(-\infty ,2-\sqrt{3})$、$(2+\sqrt{3},+\infty )$，减区间 $(2-\sqrt{3},2+\sqrt{3})$；（2）$a\in \left(\frac{5}{4},\frac{5}{3}\right)$。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷II(文)） 已知函数 $f(x)=x^3-3a{x}^2+3x+1$.

(1)设 $a=2$，求 $f(x)$ 的单调区间；

(2)设 $f(x)$ 在区间 $(2,3)$ 中至少有一个极值点，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. $a=2$：$f^{\prime }(x)=3(x^2-4x+1)$，零点 $2\pm \sqrt{3}$。
2. 开口向上：增 $(-\infty ,2-\sqrt{3})$、$(2+\sqrt{3},+\infty )$，减 $(2-\sqrt{3},2+\sqrt{3})$。
3. 极值点存在 $⟺a^2>1$；两根 $x=a\pm \sqrt{a^2-1}$ 之积为 $1$。
4. 较大根 $\in (2,3)⟺a=\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)\in \left(\frac{5}{4},\frac{5}{3}\right)$。

✅【答案】

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(1) 增区间为 $(-\infty ,2-\sqrt{3})$ 与 $(2+\sqrt{3},+\infty )$，减区间为 $(2-\sqrt{3},2+\sqrt{3})$

(2) $a$ 的取值范围为 $\left(\frac{5}{4},\frac{5}{3}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

$f^{\prime }(x)=3x^2-6ax+3=3(x^2-2ax+1)$。 （1）当 $a=2$ 时，$f^{\prime }(x)=3(x^2-4x+1)$， 令 $f^{\prime }(x)=0$ 得 $x=2\pm \sqrt{3}$。 当 $x<2-\sqrt{3}$ 或 $x>2+\sqrt{3}$ 时 $f^{\prime }(x)>0$；当 $2-\sqrt{3}<x<2+\sqrt{3}$ 时 $f^{\prime }(x)<0$。 故 $f(x)$ 的单调增区间为 $(-\infty ,2-\sqrt{3})$ 与 $(2+\sqrt{3},+\infty )$， 单调减区间为 $(2-\sqrt{3},2+\sqrt{3})$。 （2）$f(x)$ 有极值点 $⟺f^{\prime }(x)=0$ 有两个不等实根 $⟺\Delta =4a^2-4>0⟺|a|>1$。 此时两极值点为 $x_1=a-\sqrt{a^2-1}$，$x_2=a+\sqrt{a^2-1}$，且 $x_1{x}_2=1$。 当 $a>1$ 时 $0<x_1<1<x_2$，故 $(2,3)$ 内若有极值点，只能是 $x_2\in (2,3)$。 由 $x_2$ 满足 $x_2^2-2a{x}_2+1=0$，得 $a=\frac{1}{2}\left(x_2+\frac{1}{x_2}\right)$。 函数 $g(x)=\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)$ 在 $(2,3)$ 上单调递增， 故 $x_2\in (2,3)⟺a\in \left(g(2),g(3)\right)=\left(\frac{5}{4},\frac{5}{3}\right)$。 当 $a<-1$ 时两极值点均为负数，不可能落在 $(2,3)$ 内。 综上，$a$ 的取值范围为 $\left(\frac{5}{4},\frac{5}{3}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次函数的单调区间与极值点分布

核心方法：$f^{\prime }=3(x^2-2ax+1)$ 两根之积为 $1$，较大根落区间用 $x+\frac{1}{x}$ 反解

避坑指南：“至少有一个极值点”不必讨论两个根：由 $x_1{x}_2=1$ 知 $a>1$ 时只有较大根可能落在 $(2,3)$；$a<-1$ 时两根皆负，别漏掉排除。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：极值点 $⟺$ 导函数变号零点，二次导函数先看判别式再看根的分布。

结论推广：$x_2\in (2,3)⟺a=\frac{1}{2}\left(x_2+\frac{1}{x_2}\right)\in \left(\frac{5}{4},\frac{5}{3}\right)$，用函数单调性转化区间，避免繁琐的根的分布讨论。

方法推广：端点 $a=\frac{5}{4},\frac{5}{3}$ 使根恰为 $2,3$，不在开区间内，故取不到。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-21 解-三次函数极值点分布
• 2009-新课标卷文-21 解-三次函数极值与恒成立
• 2009-大纲卷II文-21 解-导数单调与恒成立
• 2009-大纲卷I文-21 解-导数单调与切线