2010-大纲卷II理-08 单-向量

本题导读

本题考查平面向量的基本定理、角平分线定理，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷II(理)） $△ABC$ 中，点 $D$ 在边 $AB$ 上，$CD$ 平分 $\angle ACB$.若 $\overrightarrow{CB}=\mathbf{a}$，$\overrightarrow{CA}=\mathbf{b}$，$|\mathbf{a}|=1$，$|\mathbf{b}|=2$，则 $\overrightarrow{CD}=$ ()

A. $\frac{1}{3}\mathbf{a}+\frac{2}{3}\mathbf{b}$　　B. $\frac{2}{3}\mathbf{a}+\frac{1}{3}\mathbf{b}$　　C. $\frac{3}{5}\mathbf{a}+\frac{4}{5}\mathbf{b}$　　D. $\frac{4}{5}\mathbf{a}+\frac{3}{5}\mathbf{b}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据三角形内角平分线定理，求出 $D$ 点分割 $AB$ 边的线段长度比例 $\frac{AD}{DB}$。
2. 利用向量的定比分点公式或向量线性运算直接求出 $\overrightarrow{CD}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由角平分线定理可得： $\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{CB}=\frac{|\mathbf{b}|}{|\mathbf{a}|}=\frac{2}{1}=2$

即 $\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$。

根据向量加法原则： $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}=\mathbf{b}+\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}\right)=\mathbf{b}+\frac{2}{3}(\mathbf{a}-\mathbf{b})=\frac{2}{3}\mathbf{a}+\frac{1}{3}\mathbf{b}$

故选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量基底表示法与初等几何性质结合。
2. 核心方法：角平分线定理 + 向量分点公式。
3. 避坑指南：注意基底向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 所对应的边，系数不要混淆倒置。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：结合平面几何经典定理（内角平分线定理）的向量转化题。
2. 结论推广：在 $△ABC$ 中，若 $CD$ 为 $\angle C$ 的平分线，设 $a,b$ 为两邻边长，则 $\overrightarrow{CD}=\frac{a}{a+b}\overrightarrow{CA}+\frac{b}{a+b}\overrightarrow{CB}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程
• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积
• 2011-上海卷文-18 单-向量和与重心