2010-天津卷理-06 单-等比数列

本题导读

本题考查等比数列求和公式与公比性质，关键在于注意公比 $q$ 的分类讨论（$q=1$ 与 $q\ne 1$）。

📌【题干】

Question

（2010年天津卷(理)） 已知 $\{a_n\}$ 是首项为 $1$ 的等比数列，$S_n$ 是 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，且 $9S_3=S_6$，则数列 $\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$ 的前 $5$ 项和为()

A. $\frac{15}{8}$ 或 $5$　　　　B. $\frac{31}{16}$ 或 $5$　　　　C. $\frac{31}{16}$　　　　D. $\frac{15}{8}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求原数列公比 $q$：

• 当 $q=1$ 时，检验 $9S_3=S_6$ 是否成立；
• 当 $q\ne 1$ 时，用等比求和公式 $\frac{a_1(1-q^3)}{1-q}$ 与 $\frac{a_1(1-q^6)}{1-q}$ 解出 $q$。

2. 求倒数列 $\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$ 的前 $5$ 项和：

• 倒数列 $\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$ 是首项为 $1$，公比为 $\frac{1}{q}$ 的等比数列。
• 分别代入不同 $q$ 值计算前 $5$ 项和。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求等比数列的公比 $q$ 设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$，首项 $a_1=1$。

• 分类一：当 $q=1$ 时 $S_3=3\times 1=3$，$S_6=6\times 1=6$。 此时 $9S_3=9\times 3=27\ne 6=S_6$，矛盾。 故 $q\ne 1$。

• 分类二：当 $q\ne 1$ 时 根据等比数列求和公式： $S_3=\frac{1-q^3}{1-q},S_6=\frac{1-q^6}{1-q}$

代入条件 $9S_3=S_6$： $9\cdot \frac{1-q^3}{1-q}=\frac{1-q^6}{1-q}$

两边同乘 $1-q$ 并利用因式分解 $1-q^6=(1-q^3)(1+q^3)$： $9(1-q^3)=(1-q^3)(1+q^3)$

因为 $q\ne 1$ 且若 $q^3=1⟹q=1$（已排除），所以 $1-q^3\ne 0$，两边可约去 $1-q^3$： $9=1+q^3⟹q^3=8⟹q=2$

第二步：求倒数列 $\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$ 的前 $5$ 项和 已知 $a_n=a_1{q}^{n-1}=2^{n-1}$，则倒数列为： $b_n=\frac{1}{a_n}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$

数列 $\{b_n\}$ 是首项为 $b_1=1$，公比为 $q^{\prime }=\frac{1}{2}$ 的等比数列。

其前 $5$ 项和为： $T_5=\frac{b_1(1-q^{\prime 5})}{1-q^{\prime }}=\frac{1\times \left[1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^5\right]}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1-\frac{1}{32}}{\frac{1}{2}}=2\times \frac{31}{32}=\frac{31}{16}$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列求和公式与公比倒数性质。
2. 核心方法：利用 $S_6/S_3=1+q^3$（当 $q\ne 1$ 时）快速求解公比 $q\to$ 计算倒数列前 $n$ 项和。
3. 避坑指南：

• 必须检验 $q=1$ 是否满足题意，防止漏讨论；
• 选项中有“或 5”干扰项，经严格检验 $q=1$ 被排除，不能选双解选项 B。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：等比数列片段和性质 $S_{2k}=S_k(1+q^k)$ 的经典考题。
2. 结论推广：若 $\{a_n\}$ 为等比数列，则倒数列 $\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$ 也是等比数列，公比为原公比的倒数 $\frac{1}{q}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-18 单-等比数列
• 2011-北京卷文-12 填-等比数列求和
• 2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件