2010-天津卷理-08 单-不等式

本题导读

本题考查分段函数求值与解不等式，可通过分类讨论或分析函数的奇偶性快速破局。

📌【题干】

Question

（2010年天津卷(理)） 设函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{\log }_{2}x,& x>0\\ {\log }_{\frac{1}{2}}(-x),& x<0\end{array}$，若 $f(a)>f(-a)$，则实数 $a$ 的取值范围是()

A. $(-1,0)\cup (0,1)$　　　　　　　　　　　　　B. $(-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$

C. $(-1,0)\cup (1,+\infty )$　　　　　　　　　　　　　D. $(-\infty ,-1)\cup (0,1)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析函数奇偶性：对任意 $x>0$，$-x<0$： $f(-x)={\log }_{\frac{1}{2}}(-(-x))={\log }_{\frac{1}{2}}x=-{\log }_{2}x=-f(x)$ 因此 $f(x)$ 为定义域 $\{x\mid x\ne 0\}$ 上的奇函数。
2. 转化不等式：因为 $f(x)$ 为奇函数，所以 $f(-a)=-f(a)$。 不等式 $f(a)>f(-a)$ 等价于 $f(a)>-f(a)⟺2f(a)>0⟺f(a)>0$。
3. 分类讨论 $a$ 的正负求解：

• 当 $a>0$ 时：$f(a)={\log }_{2}a>0⟹a>1$；
• 当 $a<0$ 时：$f(a)={\log }_{\frac{1}{2}}(-a)>0={\log }_{\frac{1}{2}}1⟹0<-a<1⟹-1<a<0$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：判定函数的奇偶性与单调性 当 $x>0$ 时，$f(x)={\log }_{2}x$； 当 $x<0$ 时，$f(-x)={\log }_2(-x)=-{\log }_{\frac{1}{2}}(-x)=-f(x)$。 故 $f(x)$ 为奇函数。

第二步：等价化简不等式 由奇函数性质 $f(-a)=-f(a)$，原不等式 $f(a)>f(-a)$ 可化简为： $f(a)>-f(a)⟹2f(a)>0⟹f(a)>0$

第三步：按 $a$ 的符号分类求解

• 情形 1：当 $a>0$ 时 $f(a)={\log }_{2}a>0⟹a>1$

• 情形 2：当 $a<0$ 时 $f(a)={\log }_{\frac{1}{2}}(-a)>0={\log }_{\frac{1}{2}}1$ 因为底数 $\frac{1}{2}\in (0,1)$，对数函数单调递减： $0<-a<1⟹-1<a<0$

综合两种情形，实数 $a$ 的取值范围是 $(-1,0)\cup (1,+\infty )$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数的奇偶性判定与解对数不等式。
2. 核心方法：利用奇函数性质将 $f(a)>f(-a)$ 转化为 $f(a)>0$ $\to$ 分 $a>0$ 与 $a<0$ 解对数不等式。
3. 避坑指南：解 $a<0$ 时的对数不等式 ${\log }_{\frac{1}{2}}(-a)>0$ 时，注意底数小于 $1$ 改变不等号方向，且真数 $-a>0$ 须有意义。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：分段对数函数性质基础考题。
2. 结论推广：若定义域关于原点对称的奇函数 $f(x)$ 在各段上单调，则 $f(a)>f(-a)⟺f(a)>0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式
• 2012-上海卷文-20 解-对数不等式与反函数
• 2012-浙江卷文-21 解-三次函数单调性与不等式证明