2010-天津卷理-15 填-向量

本题导读

本题考查平面向量的基底拆分与数量积计算，将未知向量用已知垂直和倍数关系的向量表示化简。

📌【题干】

Question

（2010年天津卷(理)） 如图，在 $△ABC$ 中，$AD\perp AB$，$\overrightarrow{BC}=\sqrt{3}\overrightarrow{BD}$，$|\overrightarrow{AD}|=1$，则 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 拆分目标向量 $\overrightarrow{AC}$：由向量加法，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$。
2. 代入已知关系：已知 $\overrightarrow{BC}=\sqrt{3}\overrightarrow{BD}$，故 $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\sqrt{3}\overrightarrow{BD}$。
3. 进一步拆分 $\overrightarrow{BD}$：$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$，代入得： $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\sqrt{3}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=(1-\sqrt{3})\overrightarrow{AB}+\sqrt{3}\overrightarrow{AD}$
4. 计算数量积：利用 $AD\perp AB⟹\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=0$，计算 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}$。

✅【答案】

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$\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：向量拆分表示 由向量加法法则： $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$

已知 $\overrightarrow{BC}=\sqrt{3}\overrightarrow{BD}$，且 $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$： $\overrightarrow{BC}=\sqrt{3}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})$

代入 $\overrightarrow{AC}$ 的表达式： $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\sqrt{3}\overrightarrow{AD}-\sqrt{3}\overrightarrow{AB}=(1-\sqrt{3})\overrightarrow{AB}+\sqrt{3}\overrightarrow{AD}$

第二步：计算数量积 两边同时与 $\overrightarrow{AD}$ 做数量积： $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}=\left[(1-\sqrt{3})\overrightarrow{AB}+\sqrt{3}\overrightarrow{AD}\right]\cdot \overrightarrow{AD}$ $=(1-\sqrt{3})(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD})+\sqrt{3}|\overrightarrow{AD}{|}^2$

因为 $AD\perp AB$，所以 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=0$； 已知 $|\overrightarrow{AD}|=1$，代入化简得： $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}=0+\sqrt{3}\times 1^2=\sqrt{3}$

故答案为：$\sqrt{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量基底分解与数量积计算，垂直条件 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$ 的应用。
2. 核心方法：基底法（以 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}$ 为基底分解所有向量）。
3. 避坑指南：拆分 $\overrightarrow{BD}$ 时注意方向 $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$（终点减起点），勿颠倒为 $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：平面向量线性表示与数量积综合基础题。
2. 结论推广：若 $AD\perp AB$，且 $\overrightarrow{BC}=k\overrightarrow{BD}$，则 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}=k|\overrightarrow{AD}{|}^2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程
• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积
• 2011-上海卷文-18 单-向量和与重心