2010-安徽卷理-01 单-复数

本题导读

本题考查复数的代数除法运算，核心考点在于通过分子分母同乘共轭复数完成分母实数化。

📌【题干】

Question

（2010年安徽卷(理)） $i$ 是虚数单位，$\frac{i}{\sqrt{3}+3i}=$ ()

A. $\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{12}i$　　B. $\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{12}i$　　C. $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6}i$　　D. $\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}i$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分子与分母同乘以分母的共轭复数 $\sqrt{3}-3i$。

2. 利用 $i^2=-1$ 化简分子分母，最后分离出实部与虚部。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{i}{\sqrt{3}+3i}=\frac{i(\sqrt{3}-3i)}{(\sqrt{3}+3i)(\sqrt{3}-3i)}=\frac{\sqrt{3}i-3i^2}{(\sqrt{3}{)}^2-(3i{)}^2}=\frac{3+\sqrt{3}i}{3+9}=\frac{3+\sqrt{3}i}{12}=\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{12}i$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的代数形式及其四则运算规则。

2. 核心方法：分母实数化法。

3. 避坑指南：注意分母平方差展开时，$(3i{)}^2=9i^2=-9$，由于前面带负号，分母最终应为 $3-(-9)=12$，避免符号混淆出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材中复数代数四则运算的基础型练习题。

2. 结论推广: 对于 $\frac{i}{a+bi}$ 型复数，其标准代数形式化简通式为 $\frac{b}{a^2+b^2}+\frac{a}{a^2+b^2}i$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-19 解-复数运算
• 2011-上海卷理-19 解-复数
• 2011-北京卷文-02 单-复数除法运算