2010-安徽卷理-03 单-向量

本题导读

本题考查平面向量的坐标代数运算，重点测试模长公式、数量积公式及向量垂直的充要条件。

📌【题干】

Question

（2010年安徽卷(理)） 设向量 $\mathbf{a}=(1,0)$, $\mathbf{b}=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$，则下列结论中正确的是 ()

A. $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|$　　B. $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\frac{\sqrt{2}}{2}$　　C. $\mathbf{a}-\mathbf{b}$ 与 $\mathbf{b}$ 垂直　　D. $\mathbf{a}\parallel \mathbf{b}$

🔍【思路分析】

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1. 分别计算两向量的模以及数量积，对 A、B 选项做出定性判断。

2. 计算出差向量 $\mathbf{a}-\mathbf{b}$ 的坐标，通过与 $\mathbf{b}$ 作数量积检验其是否为 0，从而判断垂直性。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

• 对于 A：$|\mathbf{a}|=1$， $|\mathbf{b}|=\sqrt{(\frac{1}{2}{)}^2+(\frac{1}{2}{)}^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\ne 1$，A错误；

• 对于 B：$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=1\times \frac{1}{2}+0\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\ne \frac{\sqrt{2}}{2}$，B错误；

• 对于 C：$\mathbf{a}-\mathbf{b}=\left(1-\frac{1}{2},0-\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$。 计算其与 $\mathbf{b}$ 的数量积： $(\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot \mathbf{b}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0$ 数量积为 0，说明两向量垂直，C正确；

• 对于 D：$1\times \frac{1}{2}-0\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\ne 0$，两向量不平行，D错误。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量坐标运算基本公式、向量垂直（$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=0$）与平行（$x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$）的坐标充要条件。

2. 核心方法：坐标公式代入验证法。

3. 避坑指南：计算 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$ 时，要严格遵循对应坐标相乘再相加的规则，切勿与夹角余弦值计算相混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材中平面向量坐标运算的基本题型，属于考查双基的稳健基础小题。

2. 结论推广: 若非零向量满足 $(\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot \mathbf{b}=0⟹\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{b}{|}^2$。本题中 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\frac{1}{2}$，且 $|\mathbf{b}{|}^2=\frac{1}{2}$，两者相等，故垂直结论恒成立。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程
• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积
• 2011-上海卷文-18 单-向量和与重心