2010-安徽卷理-18 解-二面角

本题导读

本题是以多面体为载体的典型立体几何综合题。第一问和第二问重点考查空间线面平行与线面垂直的逻辑证明，第三问考查利用空间向量坐标法精确求解二面角的大小。

📌【题干】

Question

（2010年安徽卷(理)） 如图，在多面体 $ABCDEF$ 中，四边形 $ABCD$ 是正方形，$EF\parallel AB$，$EF\perp FB$，$AB=2EF$，$\angle BFC=90^{\circ }$，$BF=FC$，$H$ 为 $BC$ 的中点．

(1) 求证：$FH\parallel$ 平面 $EDB$；

(2) 求证：$AC\perp$ 平面 $EDB$；

(3) 求二面角 $B-DE-C$ 的大小．

🔍【思路分析】

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1. 第一问：取 $AC$ 与 $BD$ 的交点 $O$，利用三角形中位线定理证明 $OH\parallel EF$ 且 $OH=EF$，构建平行四边形 $EFHO$，从而得到 $FH\parallel EO$ 达到线面平行的目的。

2. 第二问：利用已知垂直关系证明 $AB\perp$ 平面 $FBC$，进而推导面面垂直。由 $FH\perp BC$ 得到 $FH\perp$ 平面 $ABCD$，平移至 $EO\perp$ 平面 $ABCD$，结合正方形对角线垂直完成线面垂直证明。

3. 第三问：以 $O$ 为原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面 $BDE$ 与平面 $CDE$ 的法向量，利用向量夹角公式求出二面角的余弦值并转化为相应角度。

✅【答案】

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𝐹𝐻∥平面𝐸𝐷𝐵；𝐴𝐶⟂平面𝐸𝐷𝐵；二面角𝐵−𝐷𝐸−𝐶的大小为60∘.

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明：设 $AC$ 与 $BD$ 的交点为 $O$，连接 $EO$． 因为四边形 $ABCD$ 是正方形，所以 $O$ 为 $AC$ 的中点． 又因为 $H$ 为 $BC$ 的中点，所以在 $△ABC$ 中， $OH\parallel AB$ 且 $OH=\frac{1}{2}AB$． 已知 $EF\parallel AB$ 且 $EF=\frac{1}{2}AB$， 所以 $OH\parallel EF$ 且 $OH=EF$． 因此，四边形 $EFHO$ 是平行四边形，可得 $FH\parallel EO$． 因为 $EO\subset$ 平面 $EDB$，$FH\not\subset$ 平面 $EDB$， 所以 $FH\parallel$ 平面 $EDB$．

(2) 证明：因为 $EF\parallel AB$，$EF\perp FB$，所以 $AB\perp FB$． 又因为四边形 $ABCD$ 是正方形，所以 $AB\perp BC$． 且 $FB\cap BC=B$，所以 $AB\perp$ 平面 $FBC$． 因为 $AB\subset$ 平面 $ABCD$，所以平面 $ABCD\perp$ 平面 $FBC$． 在 $△FBC$ 中，因为 $BF=FC$，$H$ 为 $BC$ 的中点，所以 $FH\perp BC$． 又因为平面 $ABCD\perp$ 平面 $FBC$，且交线为 $BC$，所以 $FH\perp$ 平面 $ABCD$． 由(1)知 $EO\parallel FH$，所以 $EO\perp$ 平面 $ABCD$． 因为 $AC\subset$ 平面 $ABCD$，所以 $AC\perp EO$． 又因为正方形的对角线 $AC\perp BD$，且 $BD\cap EO=O$， 所以 $AC\perp$ 平面 $EDB$．

(3) 解：由(2)知 $OB,OC,OE$ 两两垂直，以 $O$ 为坐标原点，分别以 $\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OE}$ 的方向为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系． 设 $AB=2$，则 $BC=2$．在 Rt$△BFC$ 中， $BF=FC=\sqrt{2}$，可得中线 $FH=1$，则 $OE=1$． 各点坐标分别为： $O(0,0,0),B(\sqrt{2},0,0),C(0,\sqrt{2},0),D(-\sqrt{2},0,0),E(0,0,1)$．

由(2)知， $AC\perp$ 平面 $EDB$，所以平面 $BDE$ 的一个法向量可取为： ${\vec{n}}_1=\overrightarrow{OC}=(0,\sqrt{2},0)$ 设平面 $CDE$ 的法向量为 ${\vec{n}}_2=(x,y,z)$． 已知 $\overrightarrow{CD}=(-\sqrt{2},-\sqrt{2},0)$， $\overrightarrow{CE}=(0,-\sqrt{2},1)$． 由 $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{CD}=0\\ {\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{CE}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y=0\\ -\sqrt{2}y+z=0\end{array}$ 令 $y=-1$，则 $x=1,z=-\sqrt{2}$，得 ${\vec{n}}_2=(1,-1,-\sqrt{2})$．

设二面角 $B-DE-C$ 的大小为 $\theta$，由图可知 $\theta$ 为锐角，则： $\cos \theta =\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}=\frac{|0\times 1+\sqrt{2}\times (-1)+0\times (-\sqrt{2})|}{\sqrt{2}\times \sqrt{1^2+(-1{)}^2+(-\sqrt{2}{)}^2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times 2}=\frac{1}{2}$ 因为 $\theta \in [0,\pi ]$，所以 $\theta =\frac{\pi }{3}$（或 $60^{\circ }$）． 故二面角 $B-DE-C$ 的大小为 $60^{\circ }$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面平行与线面垂直的传统几何证明；利用空间直角坐标系求解两平面二面角的向量法。

2. 核心方法：构建辅助 parallelogram 完成线线平行向线面平行的过渡；在面对两两垂直的特殊交线时，优先建立空间坐标系。

3. 避坑指南：面面垂直的性质定理应用时，必须强调“$FH\subset$ 面 $FBC$”以及“$FH\perp$ 交线 $BC$”这两个关键前提，否则大题步骤会扣分。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源: 本题是由经典的倒放四棱锥与三棱柱组合变形而成的多面体，考查学生动态剥离几何图形的能力。

5. 结论推广: 对于此类具有对称性的多面体，当上棱 $EF$ 与下底面对角线平分线 $OH$ 平行且相等时，其内部必存在隐含的垂直通道（如 $EO\perp$ 底面），这是解立体几何题的万能突破口。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-江苏卷-22 解-空间向量与二面角
• 2011-浙江卷文-20 解-线面垂直与二面角
• 2012-四川卷理-19 解-线面角与二面角