2010-山东卷文-16 填-圆的弦长与垂直直线

本题导读

考查圆与弦长。设圆心 $C(a,0)$，半径 $r=|a-1|$；圆心到 $l:x-y-1=0$ 的距离 $d=\frac{|a-1|}{\sqrt{2}}$，弦长 $2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{2}$ 解得 $a=3$，过 $(3,0)$ 且与 $l$ 垂直的直线为 $x+y-3=0$。

📌【题干】

Question

（2010年山东卷(文)） 已知圆 $C$ 过点 $(1,0)$，且圆心在 $x$ 轴的正半轴上，直线 $l:y=x-1$ 被圆 $C$ 所截得的弦长为 $2\sqrt{2}$，则过圆心且与直线 $l$ 垂直的直线的方程为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设圆心 $C(a,0)$（$a>0$），圆过 $(1,0)$，半径 $r=|a-1|$。
2. 圆心到直线 $l:x-y-1=0$ 的距离 $d=\frac{|a-0-1|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{|a-1|}{\sqrt{2}}$。
3. 弦长 $2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{(a-1{)}^2-\frac{(a-1{)}^2}{2}}=2\sqrt{\frac{(a-1{)}^2}{2}}=\sqrt{2}|a-1|=2\sqrt{2}$。
4. $|a-1|=2$，$a>0$ 得 $a=3$（或 $a=-1$ 舍去）。圆心 $C(3,0)$。
5. $l$ 的斜率 $1$，与之垂直的直线斜率为 $-1$，过 $(3,0)$：$y=-(x-3)$，即 $x+y-3=0$。

✅【答案】

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$x+y-3=0$

✍【详细解析】

Abstract

设圆心为 $C(a,0)$，其中 $a>0$. 圆过点 $(1,0)$，故半径 $r=|a-1|$. 直线 $l:x-y-1=0$，圆心到 $l$ 的距离 $d=\frac{|a-0-1|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{|a-1|}{\sqrt{2}}.$ 由垂径定理，弦长为 $2\sqrt{r^2-d^2}$，故 $2\sqrt{(a-1{)}^2-\frac{(a-1{)}^2}{2}}=2\sqrt{2}.$ 化简得 $\sqrt{2}|a-1|=2\sqrt{2}$，即 $|a-1|=2$，解得 $a=3$ 或 $a=-1$（舍去，因 $a>0$）. 所以圆心为 $C(3,0)$. 直线 $l$ 的斜率为 $1$，与其垂直的直线斜率为 $-1$，故过 $C(3,0)$ 的垂线方程为 $y-0=-(x-3),\text{即}x+y-3=0.$ 故答案为 $x+y-3=0$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的弦长与垂线方程

核心方法：设圆心 $(a,0)$，由过点与弦长求 $a$，再由垂直关系求直线方程

避坑指南：圆心到直线距离 $d=\frac{|a-1|}{\sqrt{2}}$，弦长 $\sqrt{2}|a-1|=2\sqrt{2}$ 得 $|a-1|=2$；$a=-1$ 舍去（圆心在正半轴）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆中”弦长+圆心位置”可唯一确定圆，进而求相关直线。

结论推广：圆 $C$ 过点 $(1,0)$ 且圆心在 $x$ 轴正半轴，弦长条件定出圆心 $(3,0)$；与 $y=x-1$ 垂直的直线斜率为 $-1$。

方法推广：圆的问题先用垂径定理把弦长化为圆心距，再解参数；垂直直线斜率互为负倒数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-15 填-圆的切线围三角形
• 2011-湖北卷文-14 填-直线与圆弦长
• 2012-福建卷文-07 单-直线与圆弦长
• 2012-重庆卷文-03 单-直线与圆的弦长