2009-大纲卷II文-15 填-圆的切线围三角形

本题导读

考查圆的切线。$A(1,2)$ 恰在圆上，切线为 $x+2y=5$，截距为 $5$ 与 $\frac{5}{2}$，面积 $\frac{25}{4}$。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷II(文)） 已知圆 $O:x^2+y^2=5$ 和点 $A(1,2)$，则过 $A$ 且与圆 $O$ 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $1^2+2^2=5$，$A$ 在圆上，切线恰有一条。
2. 切线：$1\cdot x+2\cdot y=5$，即 $x+2y=5$。
3. 截距 $5$、$\frac{5}{2}$，面积 $\frac{1}{2}\times 5\times \frac{5}{2}=\frac{25}{4}$。

✅【答案】

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$\frac{25}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $1^2+2^2=5$，所以点 $A$ 在圆 $O$ 上，过 $A$ 的切线只有一条。 圆 $x^2+y^2=5$ 上点 $(x_0,y_0)$ 处的切线为 $x_{0}x+y_{0}y=5$，故切线方程为 $x+2y=5.$ 其在 $x$ 轴、$y$ 轴上的截距分别为 $5$、$\frac{5}{2}$，所围三角形为直角三角形，面积 $S=\frac{1}{2}\times 5\times \frac{5}{2}=\frac{25}{4}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的切线与三角形面积

核心方法：先判点在圆上 + 切线方程 $x_{0}x+y_{0}y=r^2$

避坑指南：$A(1,2)$ 满足 $x^2+y^2=5$，切线只有一条；若设 $y-2=k(x-1)$ 会漏竖直切线的讨论，本题恰不需要但思维要完整。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆的切线是解析几何基础模型。

结论推广：过圆 $x^2+y^2=r^2$ 上点 $(x_0,y_0)$ 的切线为 $x_{0}x+y_{0}y=r^2$。

方法推广：求截距三角形面积先化斜截式或截距式，注意截距的符号。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.06 圆的切线与极点极线
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷文-07 单-圆的切线
• 2015-广东卷文-15 填-圆的切线
• 2013-天津卷文-05 单-圆的切线垂直