2010-山东卷理-02 单-复数

本题导读

本题考查复数的代数除法运算及实部、虚部的对应相等判定。

📌【题干】

Question

（2010年山东卷(理)） 已知 $\frac{a+2\mathrm{i}}{\mathrm{i}}=b+\mathrm{i}(a,b\in \mathbb{R})$，其中 $\mathrm{i}$ 为虚数单位，则 $a+b=$()

A. $-1$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将等式左边乘以 $\mathrm{i}$ 或变形化简：$\frac{a+2\mathrm{i}}{\mathrm{i}}=\frac{(a+2\mathrm{i})(-\mathrm{i})}{\mathrm{i}(-\mathrm{i})}=2-a\mathrm{i}$。
2. 由复数相等对应实部与虚部相等的方程组求解 $a,b$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

将左边化简： $\frac{a+2\mathrm{i}}{\mathrm{i}}=\frac{a}{\mathrm{i}}+2=-a\mathrm{i}+2=2-a\mathrm{i}$

由已知 $2-a\mathrm{i}=b+\mathrm{i}$，因为 $a,b\in \mathbb{R}$，根据复数相等的条件： $\{\begin{array}{l}b=2\\ -a=1\end{array}⟹\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=2\end{array}$

所以： $a+b=-1+2=1$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数除法与复数相等。
2. 核心方法：利用 $\frac{1}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}$ 快速化简。
3. 避坑指南：注意虚部比较时带负号，避免将 $a$ 的正负号算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于复数概念与运算法则。
2. 结论推广：若 $\frac{a+b\mathrm{i}}{\mathrm{i}}=c+d\mathrm{i}$，则 $b-a\mathrm{i}=c+d\mathrm{i}⟹b=c,a=-d$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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