2010-山东卷理-08 单-排列组合

本题导读

本题考查带有限制条件的排列组合计数问题，需采用“特殊位置/特殊元素优先安排”的策略。

📌【题干】

Question

（2010年山东卷(理)） 某台小型晚会由 $6$ 个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位、节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有()

A. $36$ 种　　　　　B. $42$ 种　　　　　C. $48$ 种　　　　　D. $54$ 种

🔍【思路分析】

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1. 确定位置编号：$1,2,3,4,5,6$。丙必须排在第 $6$ 位（仅 $1$ 种选择）。
2. 甲必须排在第 $1$ 或第 $2$ 位，按甲的位置分类讨论：

• 情况一：甲排在第 $1$ 位；
• 情况二：甲排在第 $2$ 位。

3. 对每种情况安排乙及剩余节目，应用乘法原理。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

首先，节目丙固定在第 $6$ 位，有 $1$ 种排法。 接下来按节目甲的位置分类讨论：

• 情况一：节目甲排在第 $1$ 位 甲在第 $1$ 位（$1$ 种排法）。 此时第 $1$ 位被甲占用，节目乙不受“不能排第一位”的限制，可在剩余的第 $2,3,4,5$ 位中任选 $1$ 个位置，有 ${\mathrm{C}}_4^1=4$ 种排法。 剩余的 $3$ 个节目在剩下的 $3$ 个位置全排列，有 ${\mathrm{A}}_3^3=6$ 种排法。 种数：$1\times 4\times 6=24$ 种。

• 情况二：节目甲排在第 $2$ 位 甲在第 $2$ 位（$1$ 种排法）。 节目乙不能排第 $1$ 位（且第 $2,6$ 位已被占用），乙只能在第 $3,4,5$ 位中选择 $1$ 个位置，有 ${\mathrm{C}}_3^1=3$ 种排法。 剩余的 $3$ 个节目在剩下的 $3$ 个位置全排列，有 ${\mathrm{A}}_3^3=6$ 种排法。 种数：$1\times 3\times 6=18$ 种。

综合两类情况，方案共有： $24+18=42\text{ 种}$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：有限制条件的排列组合问题。
2. 核心方法：优先安排限制最多的元素/位置，结合分类讨论。
3. 避坑指南：注意甲排在第 $1$ 位时，乙“不能排第 $1$ 位”的条件被自动满足，此时乙的选择空间增大，切勿漏算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：经典的特殊位置与特殊元素约束排列问题。
2. 结论推广：处理多重约束排列问题时，“正难则反”的间接法（总数减去不合要求的排法）也是常用捷径。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷理-08 单-排列组合
• 2012-辽宁卷理-05 单-排列组合
• 2013-北京卷理-12 填-排列组合应用