2010-广东卷文-07 单-椭圆离心率等差

本题导读

考查椭圆离心率。由 $2a,2b,2c$ 成等差得 $2b=a+c$，平方用 $b^2=a^2-c^2$ 得 $4(a^2-c^2)=(a+c{)}^2$，即 $5c^2+2ac-3a^2=0$，解得 $e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}$，选 B。

📌【题干】

Question

（2010年广东卷(文)） 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()

A. $\frac{4}{5}$　　　　　　　B. $\frac{3}{5}$　　　　　　　C. $\frac{2}{5}$　　　　　　　D. $\frac{1}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 长轴 $2a$、短轴 $2b$、焦距 $2c$ 成等差 $\Rightarrow 2(2b)=2a+2c$，即 $2b=a+c$。
2. 用 $b^2=a^2-c^2$ 消去 $b$，得关于 $e=\frac{c}{a}$ 的方程。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

设椭圆长半轴为 $a$，短半轴为 $b$，半焦距为 $c$. 长轴 $2a$、短轴 $2b$、焦距 $2c$ 成等差数列，则 $2(2b)=2a+2c,即2b=a+c.$ 两边平方：$4b^2=(a+c{)}^2$，代入 $b^2=a^2-c^2$ 得 $4(a^2-c^2)=a^2+2ac+c^2,即5c^2+2ac-3a^2=0.$ 两边同除以 $a^2$，令 $e=\frac{c}{a}$，得 $5e^2+2e-3=0$，解得 $e=\frac{3}{5}$（$e=-1$ 舍去）. 故选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的离心率与等差数列

核心方法：$2a,2b,2c$ 等差得 $2b=a+c$，用 $b^2=a^2-c^2$ 得 $5e^2+2e-3=0$，$e=\frac{3}{5}$

避坑指南：等差中项 $2b=\frac{2a+2c}{2}=a+c$；平方后要记得 $c^2=a^2-b^2$；解出 $e$ 后 $e\in (0,1)$ 舍负根。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：离心率问题把几何条件翻译成 $a,b,c$ 的方程，再用 $e=\frac{c}{a}$ 统一。

结论推广：$e=\frac{c}{a}$，$b^2=a^2-c^2=a^2(1-e^2)$；等差数列给的是三量线性关系。

方法推广：把已知关系平方消 $b$，化为一元二次方程解 $e$，注意 $0<e<1$ 取舍。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2009-浙江卷文-06 单-椭圆离心率
• 2011-山东卷文-03 单-指数求值与正切
• 2012-大纲卷文-03 单-正弦型函数奇偶性
• 2009-江苏卷-13 填-椭圆离心率