2012-大纲卷文-03 单-正弦型函数奇偶性

本题导读

本题考查正弦型函数的奇偶性，以及诱导公式。

📌【题干】

Question

（2012年大纲卷(文)） 若函数 $f(x)=\sin \left(x+\frac{\phi }{3}\right)$（$\phi \in [0,2\pi ]$）是偶函数，则 $\phi =$()

A. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　B. $\frac{2\pi }{3}$　　　　　　　C. $\frac{3\pi }{2}$　　　　　　　D. $\frac{5\pi }{3}$

🔍【思路分析】

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偶函数要求 $x=0$ 处相位取 $\frac{\pi }{2}+k\pi$，即 $\frac{\phi }{3}=\frac{\pi }{2}$，$\phi =\frac{3\pi }{2}$，选 C。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)$ 为偶函数 $⟺$ 其图象关于 $y$ 轴对称 $⟺$ 相位在 $x=0$ 处取到 $\frac{\pi }{2}+k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$）。

即 $\frac{\phi }{3}=\frac{\pi }{2}+k\pi$，$\phi =\frac{3\pi }{2}+3k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$）。

由 $\phi \in [0,2\pi ]$：$k=0$ 时 $\phi =\frac{3\pi }{2}$；$k=-1$ 得 $-\frac{3\pi }{2}$（舍），$k=1$ 得 $\frac{9\pi }{2}>2\pi$（舍）。

故 $\phi =\frac{3\pi }{2}$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦型函数的奇偶性；诱导公式

核心方法：“偶 ⟺ 相位在 $x=0$ 处取 $\frac{\pi }{2}+k\pi$“，再由参数范围筛选

避坑指南：相位 $\frac{\phi }{3}$ 的范围是 $[0,\frac{2\pi }{3}]$，只能取 $\frac{\pi }{2}$，对应 $\phi =\frac{3\pi }{2}$ 而非 $\frac{\pi }{2}$——别把相位值直接当答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：由奇偶性反求参数的相位题，与 2012 年新课标Ⅰ文第 9 题、2013 年新课标Ⅰ理同类题同族。

结论推广：一般地，$\sin (x+\theta )$ 为偶函数 $⟺\theta =\frac{\pi }{2}+k\pi$；为奇函数 $⟺\theta =k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$）。

方法推广：正弦型函数奇偶性口诀：奇看 $\theta =k\pi$，偶看 $\theta =\frac{\pi }{2}+k\pi$，最后用参数范围筛值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-03 单-偶函数减区间

• 2012-新课标卷文-09 单-三角函数对称性