2010-广东卷理-02 单-复数

本题导读

本题考查复数乘法的基本代数运算，重点在于掌握 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 及其多项式展开规则。

📌【题干】

Question

（2010年广东卷(理)） 若复数 $z_1=1+\mathrm{i}$，$z_2=3-\mathrm{i}$，则 $z_1\cdot z_2=$()

A. $4+2\mathrm{i}$　　　　B. $2+\mathrm{i}$　　　　C. $2+2\mathrm{i}$　　　　D. $3+\mathrm{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据复数乘法法则 $(a+b\mathrm{i})(c+d\mathrm{i})=(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm{i}$ 进行直接展开。
2. 代入 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 化简整理得到复数的代数形式。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

直接计算两复数乘积： $z_1\cdot z_2=(1+\mathrm{i})(3-\mathrm{i})=3-\mathrm{i}+3\mathrm{i}-{\mathrm{i}}^2=3+2\mathrm{i}-(-1)=4+2\mathrm{i}$

故选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数代数形式的乘法运算。
2. 核心方法：分配律展开结合 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 化简。
3. 避坑指南：展开时注意 $-{\mathrm{i}}^2=-(-1)=+1$ 的符号变换，避免符号算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于选修2-2复数代数运算基础练习题。
2. 结论推广: 复数乘积的模等于模的乘积，即 $|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|=\sqrt{2}\times \sqrt{10}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，可用于快速验算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-19 解-复数运算
• 2011-上海卷理-19 解-复数
• 2011-北京卷文-02 单-复数除法运算