2010-广东卷理-06 单-三视图

本题导读

本题考查正三棱柱截割几何体的正视图画法，重点在于判断投影面上的线段位置及虚实线关系。

📌【题干】

Question

（2010年广东卷(理)） 如图，$△ABC$ 为正三角形，$A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$，$C{C}^{\prime }\perp$ 平面 $ABC$，且 $3A{A}^{\prime }=\frac{3}{2}B{B}^{\prime }=C{C}^{\prime }=AB$，则多面体 $ABC-A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ 的正视图（也称主视图）是()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定正视图视角：由前向后投影，正面方向垂直于 $AB$，其中 $A$ 在左侧，$B$ 在右侧，$C$ 在后方中央。
2. 比较高度关系：由已知得 $A{A}^{\prime }=\frac{1}{3}C{C}^{\prime }$，$B{B}^{\prime }=\frac{2}{3}C{C}^{\prime }$，故左侧高 $A{A}^{\prime }$ 最短，右侧高 $B{B}^{\prime }$ 次之，中间点 $C^{\prime }$ 最高。
3. 判定虚实线：侧棱 $C{C}^{\prime }$ 位于前面 $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ 的后方，其被面 $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ 遮挡的部分应画为虚线，超出 $A^{\prime }{B}^{\prime }$ 上方的部分及棱 $A^{\prime }{C}^{\prime },B^{\prime }{C}^{\prime }$ 为可见轮廓线，画为实线。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

由已知 $3A{A}^{\prime }=\frac{3}{2}B{B}^{\prime }=C{C}^{\prime }=AB$，设 $C{C}^{\prime }=h$，则： $A{A}^{\prime }=\frac{1}{3}h,B{B}^{\prime }=\frac{2}{3}h$

在正视图中：

• 底边 $AB$ 投影为水平线段；
• 左侧棱 $A{A}^{\prime }$ 投影为高为 $\frac{1}{3}h$ 的实线段；
• 右侧棱 $B{B}^{\prime }$ 投影为高为 $\frac{2}{3}h$ 的实线段；
• 前侧面 $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ 的上边界 $A^{\prime }{B}^{\prime }$ 为可见实线段；
• 顶点 $C^{\prime }$ 投影在 $AB$ 中点正上方，高度为 $h$，高于 $A^{\prime }$ 与 $B^{\prime }$；
• 棱 $A^{\prime }{C}^{\prime }$ 和 $B^{\prime }{C}^{\prime }$ 为最上方的轮廓线，画为实线；
• 侧棱 $C{C}^{\prime }$ 位于面 $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ 后方，在 $A^{\prime }{B}^{\prime }$ 下方的投影线段被遮挡，应画为虚线。

对照各选项，图形 A 符合上述特征。

故选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三视图正视图的投影规律、可见性（虚实线）判定。
2. 核心方法：空间几何体投影法与遮挡线虚实判定。
3. 避坑指南：不可忽略被前侧面遮挡的后侧棱 $C{C}^{\prime }$ 在下方区域的虚线表示。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 改编自必修二空间几何体三视图基础识图题。
2. 结论推广: 几何体正视图中，被前面板遮挡的内部棱或后侧棱必须用虚线表示，未被遮挡的外轮廓线用实线表示。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

• 2011-北京卷文-05 单-三视图表面积
• 2011-北京卷理-07 单-三视图
• 2011-天津卷文-10 填-三视图求体积