2010-广东卷理-08 单-排列组合

本题导读

本题结合亚运会彩灯闪烁背景，考查全排列计数与连续事件间隔时间计算的实际应用。

📌【题干】

Question

（2010年广东卷(理)） 为了迎接 2010 年广州亚运会，某大楼安装 5 个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这 5 个彩灯所闪亮的颜色各不相同. 记这 5 个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为 5 秒. 如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是()

A. $1205$ 秒　　　B. $1200$ 秒　　　C. $1195$ 秒　　　D. $1190$ 秒

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算不同闪烁的总个数：5 个不同颜色的彩灯全排列，共 $A_5^5=120$ 种。
2. 计算所有闪烁所占用的时间：每个闪烁持续 5 秒，120 个闪烁共 $120\times 5=600$ 秒。
3. 计算闪烁之间的间隔时间：120 个闪烁之间有 $120-1=119$ 个间隔，每个间隔 5 秒，共 $119\times 5=595$ 秒。两者相加即得总时间。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

因为 5 个彩灯颜色各不相同且依次闪亮，所以不同闪烁的总数为： $N=A_5^5=5!=120\text{ 种}$

每个闪烁由 5 个彩灯各闪亮 1 秒组成，故单个闪烁用时 5 秒。 120 个闪烁的总用时为： $120\times 5=600\text{ 秒}$

相邻两个闪烁之间间隔 5 秒，120 个闪烁共有 $120-1=119$ 个时间间隔。 总间隔用时为： $119\times 5=595\text{ 秒}$

实现所有不同闪烁所需的至少总时间为： $600+595=1195\text{ 秒}$

故选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：全排列公式、间隔数计算（植树原理）。
2. 核心方法：总时间 = 所有事件持续时间 + 间隔时间。
3. 避坑指南：易把间隔数错算为 120 个（导致误选 B），$n$ 个事件之间的间隔数应为 $n-1$ 个。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于计数原理与实际生活调度优化的排列应用题。
2. 结论推广: 若有 $N$ 种状态，每种状态耗时 $T_1$，相邻状态间隔 $T_2$，则完成全状态覆盖的最短时间为 $N\cdot T_1+(N-1)\cdot T_2$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷理-08 单-排列组合
• 2012-大纲卷文-07 单-排列特殊元素
• 2012-辽宁卷理-05 单-排列组合