2012-大纲卷文-07 单-排列特殊元素

本题导读

本题考查排列的应用，以及分步乘法计数原理。

📌【题干】

Question

（2012年大纲卷(文)） $6$ 位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有()

A. $240$ 种　　　　B. $360$ 种　　　　C. $480$ 种　　　　D. $720$ 种

🔍【思路分析】

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甲只能在第 $2\sim 5$ 位（$4$ 种），其余 $5$ 人全排列 $5!=120$，共 $4\times 120=480$，选 C。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

甲只能排在第 $2\sim 5$ 位，有 $4$ 种选择；其余 $5$ 人全排列，有 $5!=120$ 种。

由分步乘法计数原理，共 $4\times 120=480$ 种，选 C。

验算（间接法）：总排法 $6!=720$，甲在首位或末位的排法各 $5!=120$ 种，故 $720-2\times 120=480$，一致。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：排列的应用；分步乘法计数原理

核心方法：特殊元素优先：先排受限元素甲，再排其余元素

避坑指南：“不在第一个也不在最后一个”是剩 $4$ 个位置可选，不是 $5$ 个；间接法为 $6!-2\times 5!$，两法可互相验算。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：特殊元素排列题，与 2013 年大纲卷理第 14 题、2024 年新高考Ⅱ卷第 14 题（排列问题）同族。

结论推广：一般地，$n$ 人排成一列，某甲不在首位的排法有 $(n-1)\cdot (n-1)!$ 种；不在首位也不在末位有 $(n-2)\cdot (n-1)!$ 种。

方法推广：排列受限题优先”特殊元素优先法”，再用”间接法（总数减去不合格数）“验算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-14 填-排列与组合的综合应用
• 2024-新高考II卷-14 填-排列问题