2010-广东卷理-19 解-线性规划

本题导读

本题考查线性规划在实际生活（营养配餐与成本控制）中的应用，重点在于建系列不等式组、准确画出可行域并求目标函数的最值。

📌【题干】

Question

（2010年广东卷(理)） 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐. 已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物, 6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C; 一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物, 6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C. 另外, 该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物, 42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元, 那么要满足上述的营养要求, 并且花费最少, 应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设变量：设预订午餐 $x$ 个单位，晚餐 $y$ 个单位，写出总费用 $z$ 的表达式。
2. 列约束条件：根据碳水化合物、蛋白质、维生素 C 的最低需求，建立二元一次不等式组。
3. 确定可行域：画出平面区域，找出可行域的边界顶点。
4. 求最值：将顶点坐标代入目标函数，比较求出最小值及最优解。

✅【答案】

点击查看答案

设午餐和晚餐分别预订𝑥，𝑦个单位，则𝑥⩾0，𝑦⩾0，并满足3𝑥+2𝑦⩾16,𝑥+𝑦⩾7,3𝑥+5𝑦⩾27

✍【详细解析】

Abstract

设预订午餐 $x$ 个单位，晚餐 $y$ 个单位，总费用为 $z$ 元。 由题意，约束条件为： $\{\begin{array}{l}12x+8y\ge 64\\ 6x+6y\ge 42\\ 6x+10y\ge 54\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}$ 化简得： $\{\begin{array}{l}3x+2y\ge 16\\ x+y\ge 7\\ 3x+5y\ge 27\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}$

目标函数为：$z=2.5x+4y$。

在平面直角坐标系中画出上述不等式组表示的可行域（无界区域）。 求出可行域各边界交点坐标：

• 联立 $\{\begin{array}{l}3x+2y=16\\ x+y=7\end{array}$，解得交点 $A(2,5)$。
• 联立 $\{\begin{array}{l}x+y=7\\ 3x+5y=27\end{array}$，解得交点 $B(4,3)$。
• 边界与坐标轴的交点分别为 $C(0,8)$ 与 $D(9,0)$。

将可行域的各顶点坐标分别代入目标函数 $z=2.5x+4y$ 进行比较：

• 当 $x=0,y=8$ 时，$z=2.5\times 0+4\times 8=32$；
• 当 $x=2,y=5$ 时，$z=2.5\times 2+4\times 5=25$；
• 当 $x=4,y=3$ 时，$z=2.5\times 4+4\times 3=22$；
• 当 $x=9,y=0$ 时，$z=2.5\times 9+4\times 0=22.5$。

对比可知，当 $x=4,y=3$ 时，目标函数 $z$ 取得最小值 $22$。

答：应当为该儿童预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐，才能满足营养要求且花费最少。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二元一次不等式组与线性规划最优解问题。
2. 核心方法：建模型 $\to$ 画区域 $\to$ 求交点 $\to$ 代入比较求极值。
3. 避坑指南：不等式组化简时注意系数化简不要出错；可行域属于向上无界的区域，目标函数 $z=2.5x+4y$ 取最小值对应直线在 $y$ 轴截距最小，切勿将可行域误判为封闭多边形。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于人教A版必修五3.3节《简单的线性规划问题》中的配餐与资源优化实际应用题。
2. 结论推广：对于凸可行域上的线性规划问题，线性目标函数的极值必定在可行域的顶点（或边界）处取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式
• 2012-上海卷文-20 解-对数不等式与反函数
• 2012-浙江卷文-21 解-三次函数单调性与不等式证明