2010-新课标卷文-13 填-圆的切线方程

本题导读

考查圆的方程。$r=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，方程 $x^2+y^2=2$。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(文)） 圆心位于原点且与直线 $x+y-2=0$ 相切的圆的方程为 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 圆心 $(0,0)$ 到直线 $x+y-2=0$ 的距离 $d=\frac{|0+0-2|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}$。
2. 相切 $\Rightarrow r=\sqrt{2}$。
3. 方程 $x^2+y^2=2$。

✅【答案】

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$x^2+y^2=2$

✍【详细解析】

Abstract

圆心在原点，半径等于圆心到切线的距离 $r=\frac{|0+0-2|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2},$ 所以圆的方程为 $x^2+y^2=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的标准方程与切线条件

核心方法：圆心到直线距离 $=$ 半径

避坑指南：距离公式分母是 $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，半径平方后是 $2$，方程右端写 $2$ 不是 $\sqrt{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：相切条件 $d=r$ 是直线与圆位置关系的临界点，$d<r$ 相交、$d>r$ 相离。

结论推广：圆心在原点的圆方程最简：$x^2+y^2=r^2$。

方法推广：点到直线距离公式要带绝对值，符号遗漏不影响距离但影响后续方程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2009-广东卷文-13 填-圆的方程
• 2009-重庆卷文-01 单-圆的方程
• 2009-辽宁卷文-07 单-直线与圆相切定圆
• 2011-辽宁卷文-13 填-圆的方程弦等距