2009-辽宁卷文-07 单-直线与圆相切定圆

本题导读

考查圆的方程。圆心 $(a,-a)$ 到两平行线距离相等得 $a=1$，圆心 $(1,-1)$，半径 $\sqrt{2}$。

📌【题干】

Question

（2009年辽宁卷(文)） 已知圆 $C$ 与直线 $x-y=0$ 及 $x-y-4=0$ 都相切，圆心在直线 $x+y=0$ 上，则圆 $C$ 的方程为 ()

A. $(x+1{)}^2+(y-1{)}^2=2$　　　　　　　　　　　　B. $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2=2$

C. $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=2$　　　　　　　　　　　　D. $(x+1{)}^2+(y+1{)}^2=2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设圆心 $(a,-a)$，两平行线间距离 $\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$，半径 $r=\sqrt{2}$。
2. 到两直线距离相等：$\frac{|2a|}{\sqrt{2}}=\frac{|2a-4|}{\sqrt{2}}\Rightarrow a=1$，圆心 $(1,-1)$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

圆心在 $x+y=0$ 上，设为 $(a,-a)$。 两平行线 $x-y=0$ 与 $x-y-4=0$ 之间的距离为 $\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$，圆与两直线都相切，故半径 $r=\sqrt{2}$。 由圆心到两直线距离相等：$\frac{|a-(-a)|}{\sqrt{2}}=\frac{|a-(-a)-4|}{\sqrt{2}}$，即 $|2a|=|2a-4|$，解得 $a=1$。 圆心为 $(1,-1)$，圆 $C$ 的方程为 $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2=2$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与圆的位置关系

核心方法：圆心设 $(a,-a)$ + 到两平行线距离相等

避坑指南：两平行线间距离 $\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$，半径是其一半 $\sqrt{2}$；圆心 $(1,-1)$ 别代反成 $(-1,1)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双切线定圆心是圆的方程经典模型。

结论推广：圆心在到两平行线等距的中线上，与 $x+y=0$ 联立定位。

方法推广：$(1,-1)$ 代回 $x+y=0$ 验证；$(x-1{)}^2+(y+1{)}^2$ 中 $y$ 部分是 $+1$，符号别抄错。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2012-安徽卷文-09 单-直线与圆位置关系定参
• 2011-大纲卷文-11 单-两圆相切韦达
• 2012-北京卷文-09 填-直线与圆弦长