2010-新课标卷文-14 填-随机模拟求面积

本题导读

考查随机模拟。点落在曲线下方的频率 $\frac{N_1}{N}$ 即面积 $S$ 的近似值。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(文)） 设函数 $y=f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有 $0⩽f(x)⩽1$，可以用随机模拟方法近似计算由曲线 $y=f(x)$ 及直线 $x=0$，$x=1$，$y=0$ 所围成部分的面积 $S$，先产生两组（每组 $N$ 个）区间 $[0,1]$ 上的均匀随机数 $x_1,x_2,\cdots ,x_N$ 和 $y_1,y_2,\cdots ,y_N$，由此得到 $N$ 个点 $(x_i,y_i)$（$i=1,2,\cdots ,N$）.再数出其中满足 $y_i⩽f(x_i)$（$i=1,2,\cdots ,N$）的点数 $N_1$，那么由随机模拟方法可得 $S$ 的近似值为 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $N$ 个点均匀分布在单位正方形（面积 $1$）内。
2. 满足 $y_i⩽f(x_i)$ 的点落在所求区域内。
3. 由几何概型，$\frac{N_1}{N}\approx \frac{S}{1}=S$。

✅【答案】

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$\frac{N_1}{N}$

✍【详细解析】

Abstract

$N$ 个点 $(x_i,y_i)$ 均匀分布在边长为 $1$ 的正方形内，正方形面积为 $1$。 满足 $y_i⩽f(x_i)$ 的点恰好落在曲线与 $x$ 轴之间的区域内。 由几何概型，点落入该区域的概率为 $\frac{S}{1}=S$， 用频率估计概率，得 $S\approx \frac{N_1}{N}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：随机模拟（蒙特卡洛）估计面积

核心方法：频率 $\frac{N_1}{N}$ 估计概率，概率 $=$ 面积比

避坑指南：分母是总点数 $N$ 不是 $N_1$；正方形面积为 $1$，所以 $S\approx \frac{N_1}{N}$ 不带系数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：随机模拟的理论依据是几何概型 $+$ 频率稳定性：$\frac{N_1}{N}\to \frac{S}{S_{正}}$。

结论推广：均匀随机数 $x_i,y_i$ 构造正方形内的随机点，条件 $y_i⩽f(x_i)$ 圈出目标区域。

方法推广：定积分 ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$ 的几何意义即此面积，随机模拟是其数值近似。

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