2010-新课标卷理-01 单-绝对值不等式

本题导读

考查集合的求解与交集运算，需特别注意集合 $B$ 中变量 $x\in \mathbb{Z}$ 的限制条件。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(理)） 已知集合 $A=\{x\mid |x|\le 2,x\in \mathbb{R}\}$，$B=\{x\mid \sqrt{x}\le 4,x\in \mathbb{Z}\}$，则 $A\cap B=$()

A. $(0,2)$　　　　B. $[0,2]$　　　　C. $\{0,2\}$　　　　D. $\{0,1,2\}$

🔍【思路分析】

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1. 化简集合 $A$：由 $|x|\le 2$ 得 $A=[-2,2]$。
2. 化简集合 $B$：由 $\sqrt{x}\le 4$ 且 $x\ge 0$ 及 $x\in \mathbb{Z}$，求出离散元素集合。
3. 求交集 $A\cap B$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解集合 $A$：$|x|\le 2⟹-2\le x\le 2$，即 $A=[-2,2]$。

解集合 $B$：要使 $\sqrt{x}$ 有意义，需 $x\ge 0$； 由 $\sqrt{x}\le 4⟹0\le x\le 16$。 又因 $x\in \mathbb{Z}$，故 $B=\{0,1,2,3,\dots ,16\}$。

计算交集： $A\cap B=[-2,2]\cap \{0,1,2,3,\dots ,16\}=\{0,1,2\}$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：连续集合与离散集合的交集计算。
2. 核心方法：先分别化简集合，再利用交集定义取公共元素。
3. 避坑指南：切勿忽略 $B$ 中 $x\in \mathbb{Z}$ 的条件而误选区间形式的答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：基础集合运算题，旨在考查不等式求解及集合基本概念。
2. 结论推广：数集交集问题中，当连续数集与离散数集求交时，结果必为离散数集（有限集或可列集）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2012-天津卷文-09 填-绝对值不等式与整数集合
• 2011-上海卷文-01 填-集合补集
• 2011-上海卷文-06 填-分式不等式