2010-新课标卷理-02 单-复数

本题导读

本题考查复数的模长与共轭复数性质 $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2$，巧用模的性质可大幅简化计算。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(理)） 已知复数 $z=\frac{\sqrt{3}+\mathrm{i}}{(1-\sqrt{3}\mathrm{i}{)}^2}$，$\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，则 $z\cdot \bar{z}=$()

A. $\frac{1}{4}$　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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1. 识别恒等式 $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2$。
2. 利用复数模的性质 $|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$ 及 $|z^2|=|z{|}^2$ 直接求模。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由复数性质知：$z\cdot \bar{z}=|z{|}^2$。

计算分子模长： $|\sqrt{3}+\mathrm{i}|=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2}=2$

计算分母模长： $|1-\sqrt{3}\mathrm{i}|=\sqrt{1^2+(-\sqrt{3}{)}^2}=2⟹|(1-\sqrt{3}\mathrm{i}{)}^2|=2^2=4$

故复数 $z$ 的模为： $|z|=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

因此： $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：共轭复数乘积与模长的转化关系 $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2$。
2. 核心方法：整体求模，避免展开繁琐的复数除法与平方计算。
3. 避坑指南：直接展开运算易在符号和虚数单位 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 的化简中出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于复数代数运算与复平面向量模长的基本概念。
2. 结论推广：对于任意复数分式 $z=\frac{P}{Q}$，均有 $z\cdot \bar{z}=\frac{|P{|}^2}{|Q{|}^2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-19 解-复数运算
• 2011-上海卷理-19 解-复数
• 2011-北京卷文-02 单-复数除法运算