2010-新课标卷理-03 单-几何证明

本题导读

考查利用导数的几何意义求曲线在指定点处的切线方程。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(理)） 曲线 $y=\frac{x}{x+2}$ 在点 $(-1,-1)$ 处的切线方程为()

A. $y=2x+1$　B. $y=2x-1$　C. $y=-2x-3$　D. $y=-2x-2$

🔍【思路分析】

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1. 对函数 $y=\frac{x}{x+2}$ 求导。
2. 将 $x=-1$ 代入导函数求切线斜率 $k$。
3. 利用点斜式导出切线方程。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由商的求导法则求导： $y^{\prime }=\frac{(x{)}^{\prime }(x+2)-x(x+2{)}^{\prime }}{(x+2{)}^2}=\frac{1\cdot (x+2)-x\cdot 1}{(x+2{)}^2}=\frac{2}{(x+2{)}^2}$

计算切线斜率 $k$： $k=y^{\prime }{|}_{x=-1}=\frac{2}{(-1+2{)}^2}=2$

利用点斜式得切线方程： $y-(-1)=2(x-(-1))⟹y+1=2x+2⟹y=2x+1$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的几何意义（切线斜率 $k=f^{\prime }(x_0)$）。
2. 核心方法：求导 $\to$ 代值求斜率 $\to$ 点斜式写方程。
3. 避坑指南：区分“在点处”与“过点”的切线，本题为“在点处”，点 $(-1,-1)$ 即切点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：微积分基础题，考查切线定义的几何应用。
2. 结论推广：分式函数 $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ 的导数为 $y^{\prime }=\frac{ad-bc}{(cx+d{)}^2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷理-08 单-导数综合
• 2011-北京卷理-18 解-导数
• 2011-四川卷文-22 解-导数方程与数列不等式