2010-新课标卷理-06 单-二项分布

本题导读

考查伯努利试验中未发芽种子数的二项分布模型，以及随机变量线性变换的数学期望性质。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(理)） 某种种子每粒发芽的概率都为 $0.9$，现播种了 $1000$ 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 $2$ 粒，补种的种子数记为 $X$，则 $X$ 的数学期望为()

A. $100$　　　　　　B. $200$　　　　　　C. $300$　　　　　　D. $400$

🔍【思路分析】

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1. 设未发芽的种子数为 $Y$，则 $Y\sim B(1000,1-0.9)$。
2. 计算未发芽种子数的期望 $E(Y)$。
3. 建立补种数量 $X$ 与 $Y$ 的线性关系 $X=2Y$，利用 $E(X)=2E(Y)$ 求解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设 $1000$ 粒种子中未发芽的种子数为 $Y$。

每粒种子未发芽的概率为： $p=1-0.9=0.1$

则 $Y$ 服从二项分布 $Y\sim B(1000,0.1)$，其数学期望为： $E(Y)=n\cdot p=1000\times 0.1=100$

根据题意，补种的种子数 $X=2Y$。

由期望的线性性质可得： $E(X)=E(2Y)=2E(Y)=2\times 100=200$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项分布的期望公式 $E(Y)=np$ 与期望的线性性质 $E(aY)=aE(Y)$。
2. 核心方法：将复杂随机变量转化为基本分布变量的线性组合。
3. 避坑指南：注意题目给定的是“发芽率”，计算未发芽种子数时需用对立事件概率 $1-0.9=0.1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自实际农业生产中的补种问题，考查二项分布应用。
2. 结论推广：若未发芽种子每粒补种 $k$ 粒，则总补种期望为 $E(X)=k\cdot n(1-p)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.04 二项分布与超几何分布

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-12 填-期望
• 2011-北京卷理-12 填-期望
• 2011-北京卷理-17 解-期望