2010-新课标卷理-08 单-不等式

本题导读

考查利用偶函数的对称性求解抽象不等式，关键在于将全定义域上的函数解析式或性质完整表达。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(理)） 设偶函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=x^3-8(x\ge 0)$，则 $\{x\mid f(x-2)>0\}=$()

A. $\{x\mid x<-2\text{ 或 }x>4\}$　　　　　　　　　　B. $\{x\mid x<0\text{ 或 }x>4\}$

C. $\{x\mid x<0\text{ 或 }x>6\}$　　　　　　　　　　D. $\{x\mid x<-2\text{ 或 }x>2\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 当 $x\ge 0$ 时，解 $f(x)>0⟹x^3-8>0⟹x>2$。
2. 利用偶函数 $f(-x)=f(x)$，得出 $f(x)>0$ 在 $\mathbb{R}$ 上的解集为 $x>2$ 或 $x<-2$（即 $|x|>2$）。
3. 令 $t=x-2$，解 $|x-2|>2$ 得到 $x$ 的取值范围。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

当 $x\ge 0$ 时： $f(x)=x^3-8>0⟹x^3>8⟹x>2$

因为 $f(x)$ 是偶函数，其图像关于 $y$ 轴对称： 当 $x<0$ 时，由 $f(x)=f(-x)>0$ 得 $-x>2⟹x<-2$。

因此，$f(x)>0$ 的解集为： $\{x\mid x<-2\text{ 或 }x>2\}$

对于不等式 $f(x-2)>0$，只需将上述解集中的 $x$ 替换为 $x-2$： $x-2<-2\text{或}x-2>2$ $⟹x<0\text{或}x>4$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：偶函数的对称性 $f(x)=f(|x|)$ 及复合不等式求解。
2. 核心方法：先求 $f(x)>0$ 的解集，再利用整体代换求解 $f(g(x))>0$。
3. 避坑指南：切忌忽略偶函数在 $x<0$ 侧的性质而只解出 $x>4$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：考查函数奇偶性与抽象不等式的结合。
2. 结论推广：若偶函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上单调递增，则 $f(a)>f(b)⟺|a|>|b|$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式
• 2012-上海卷文-20 解-对数不等式与反函数
• 2012-浙江卷文-21 解-三次函数单调性与不等式证明