2007-安徽卷理-14 填-三角形梯形面积求

本题导读

本题是一道构思精巧的创新型压轴填空大题。核心在于考查微积分的基本思想——黎曼和（Riemann Sum）。通过将抛物线下方一整块区域用无穷多个直角三角形进行面积逼近填充，将这些三角形的面积之和的极限巧妙地转化为一个标准曲线定积分的代数计算。

📌【题干】

Question

（2007年安徽卷(理)） 如图，抛物线 $y=-x^2+1$ 与 $x$ 轴的正半轴交于点 $A$，将线段 $OA$ 的 $n$ 等分点从左至右依次记为 $P_1,P_2,\dots ,P_{n-1}$，过这些分点分别作 $x$ 轴的垂线，与抛物线的交点依次为 $Q_1,Q_2,\dots ,Q_{n-1}$，从而得到 $n-1$ 个直角三角形 $△Q_{1}O{P}_1,△Q_2{P}_1{P}_2,\dots ,△Q_{n-1}{P}_{n-2}{P}_{n-1}$。当 $n\to \infty$ 时，这些三角形的面积之和的极限为________.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 量化抛物线的相交截距端点：令 $y=0⟹-x^2+1=0⟹x=1$（取正半轴）。因此， 线段 $OA$ 的总跨度长度为 1。
2. 分析直角三角形面积和与定积分的关系：

• 线段 $OA$ 被 $n$ 等分， 每个小区间的底边宽均为 $\Delta x=\frac{1}{n}$。
• 观察图像中的每一个直角三角形（如第 $i$ 个三角形 $△Q_i{P}_{i-1}{P}_i$）：它的底边宽为 $\frac{1}{n}$，高为右端点处的抛物线纵坐标 $y_i=f(x_i)=-x_i^2+1$。
• 所有三角形的面积之和为 $S_n={\sum }_{i=1}^{n-1}\frac{1}{2}\times \frac{1}{n}\times f(x_i)=\frac{1}{2}{\sum }_{i=1}^{n-1}f(x_i)\Delta x$。
• 根据定积分的微元定义， 当 $n\to \infty$ 时， 该和式的极限严格等价于二分之一倍的定积分： $\frac{1}{2}{\int }_0^1(-x^2+1)\text{d}x$。

3. 计算定积分：套用牛顿-莱布尼茨公式完成定积分求值。

✅【答案】

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$\frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

解：首先求解抛物线 $y=-x^2+1$ 与 $x$ 轴正半轴交点 $A$ 的横坐标： 令 $y=0$， 得 $-x^2+1=0⟹x=1$ （因在正半轴，舍去负根）。 所以， 线段 $OA$ 的长度为 1。

由题意， 将区间 $[0,1]$ 进行 $n$ 等分， 每个小区域的底边宽度稳定为： $\Delta x=\frac{1}{n}$ 各个等分点（即直角三角形的底边右端点）的横坐标依次为： $x_1=\frac{1}{n},x_2=\frac{2}{n},\dots ,x_i=\frac{i}{n},\dots ,x_{n-1}=\frac{n-1}{n}$

对应抛物线上各交点 $Q_i$ 的纵坐标（即各个直角三角形的高）为： $y_i=f(x_i)=-x_i^2+1$

根据三角形面积公式， 第 $i$ 个直角三角形的平面面积为： $S_i=\frac{1}{2}\times \text{底}\times \text{高}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{n}\times f(x_i)$

将这 $n-1$ 个直角三角形的面积全部累加， 得到总面积和式 $S_n$： $S_n={\sum }_{i=1}^{n-1}\frac{1}{2}\cdot f(x_i)\cdot \frac{1}{n}=\frac{1}{2}{\sum }_{i=1}^{n-1}\left[1-{\left(\frac{i}{n}\right)}^2\right]\cdot \frac{1}{n}$

当分元数 $n\to \infty$ 时， 根据微积分中定积分的定义（黎曼和的极限）： ${\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{i=1}^{n-1}f(x_i)\Delta x={\int }_0^{1}f(x)\text{d}x$ 因此， 这些三角形面积之和的极限可以直接无损转化为一个确定的一元定积分计算： $S_{\text{极限}}={\lim }_{n\to \infty }{S}_n=\frac{1}{2}{\int }_0^1(-x^2+1)\text{d}x$

运用牛顿-莱布尼茨公式， 求出原函数并代入上下限进行代数求解： ${\int }_0^1(-x^2+1)\text{d}x={\left[-\frac{1}{3}{x}^3+x\right]}_0^1=\left(-\frac{1}{3}\times 1^3+1\right)-(0+0)=\frac{2}{3}$

最后乘以分量系数 $\frac{1}{2}$： $S_{\text{极限}}=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}=\frac{1}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：定积分微元分割思想（黎曼和）、直角三角形面积级数项向连续定积分的算理归拢、牛顿-莱布尼茨求积公式。
2. 核心方法：定积分定义法（微元转化法）。
3. 避坑指南：

• 千万不要漏掉直角三角形面积公式里的 $\frac{1}{2}$。很多考生通过图形看出来跟抛物线曲边梯形面积积分 ${\int }_0^1(-x^2+1)\text{d}x=\frac{2}{3}$ 相关，由于粗心漏看了图中是“三角形”而非“矩形”， 错填了 $\frac{2}{3}$。图形求和极限必须严格对齐 $\frac{1}{2}$ 这一多项式系数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：定积分的几何意义与黎曼和、割补法与多边形面积极限是安徽卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是定积分的几何意义与黎曼和、割补法与多边形面积极限的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用定积分微元法、极限级数求和法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2010-新课标卷理-13 填-几何概型
• 2013-湖南卷理-12 填-定积分运算
• 2013-福建卷理-15 填-定积分