2010-新课标卷理-24 解-绝对值不等式

本题导读

本题考查含绝对值函数的图像作法及利用数形结合解决不等式解集非空问题。核心在于将不等式 $f(x)\le ax$ 转化为“函数 $y=f(x)$ 图像上有至少一点位于直线 $y=ax$ 下方或重合”，进而通过求临界斜率得出参数 $a$ 的取值范围。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(理)） 设函数 $f(x)=|2x-4|+1$.

(1) 画出函数 $y=f(x)$ 的图像；

(2) 若不等式 $f(x)\le ax$ 的解集非空，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：去绝对值号将 $f(x)$ 改写为分段函数：当 $x\ge 2$ 时 $y=2x-3$；当 $x<2$ 时 $y=-2x+5$。找出顶点 $(2,1)$ 及若干特殊点作图。
2. 第 (2) 问：不等式 $f(x)\le ax$ 的解集非空，等价于直线 $y=ax$（过原点的动直线）与函数 $y=f(x)$ 的图像有交点，且在交点处直线位于折线下方或重合。分析临界状态：即直线 $y=ax$ 过顶点 $(2,1)$ 时的斜率。

✅【答案】

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（1）𝑓(𝑥)=|2𝑥−4|+1=⎧{⎨{⎩

✍【详细解析】

Abstract

(1) 画出函数 $y=f(x)$ 的图像

将 $f(x)=|2x-4|+1$ 去绝对值化为分段函数： $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x-3,& x\ge 2\\ -2x+5,& x<2\end{array}$

关键特征点：

• 顶点（折点）：$(2,1)$
• 与 $y$ 轴交点：$(0,5)$
• 其它点：$(1,3),(3,3),(4,5)$

在坐标系中画出折线图像如下：

• 当 $x<2$ 时，为一条过 $(0,5)$ 和 $(2,1)$ 的射线，斜率为 $-2$；
• 当 $x\ge 2$ 时，为一条过 $(2,1)$ 和 $(4,5)$ 的射线，斜率为 $2$。

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(2) 若不等式 $f(x)\le ax$ 的解集非空，求 $a$ 的取值范围

不等式 $f(x)\le ax$ 在 $\mathbb{R}$ 上有解，几何意义为： 过原点 $O(0,0)$ 的直线 $l:y=ax$ 的图像在某些区间内位于函数 $y=f(x)$ 图像的上方或与其有交点。

结合图像分析直线 $y=ax$（斜率为 $a$ 的旋转直线）：

1. 临界位置一（过顶点）： 当直线 $y=ax$ 经过函数 $f(x)$ 的顶点 $(2,1)$ 时： $1=a\cdot 2⟹a=\frac{1}{2}$ 此时，当 $x=2$ 时，$f(2)=1\le \frac{1}{2}\cdot 2=1$ 成立，解集包含 $x=2$，故满足条件。

2. 旋转分析：

• 当 $a\ge \frac{1}{2}$ 时，直线 $y=ax$ 在 $x\ge 2$ 的区域内必然与射线 $y=2x-3$ 或顶点相交，且在交点右侧（或交点处）有 $ax\ge f(x)$，原不等式有解。
• 当 $a<\frac{1}{2}$ 时，由于 $f(x)\ge 1>0$，而对于 $x\le 0$ 时 $ax\le 0<f(x)$ 显然无解；对于 $x>0$，直线 $y=ax$ 的点最高纵坐标在 $x=2$ 处为 $2a<1$，恒低于 $f(x)$ 的最小值 $1$，故原不等式无解。

因此，要使不等式 $f(x)\le ax$ 的解集非空，参数 $a$ 的取值范围为： $a\ge \frac{1}{2}\left(\text{即 }\left[\frac{1}{2},+\infty \right)\right)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值分段函数的图像绘制，含参不等式解集非空的几何转化（旋转直线与折线位置关系）。
2. 核心方法：

• 分段讨论去绝对值 $\to$ 找顶点与截距作图；
• 寻找边界临界点：原点到折点 $(2,1)$ 的连线斜率为界。

3. 避坑指南：注意区别“解集非空（有解）”与“恒成立”。有解只需图像有交点/覆盖即可，恒成立则需要直线整体位于折线上方。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：考查选考《不等式选讲》模块中基础的绝对值函数几何求解法。
2. 结论推广：对于形如 $|kx+b|+c\le ax$ 形式的不等式有解问题，若 $c>0$，则临界斜率往往由原点与折点的连线决定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式
• 2012-上海卷文-20 解-对数不等式与反函数
• 2012-浙江卷文-21 解-三次函数单调性与不等式证明