2010-江苏卷-08 填-切线截距等比数列

本题导读

考查切线与数列。$a_{k+1}=\frac{a_k}{2}$，$a_1+a_3+a_5=16+4+1=21$。

📌【题干】

Question

（2010年江苏卷） 函数 $y=x^2$（$x>0$）的图象在点 $(a_k,a_k^2)$ 处的切线与 $x$ 轴交点的横坐标为 $a_{k+1}$，其中 $k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$.若 $a_1=16$，则 $a_1+a_3+a_5$ 的值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $y^{\prime }=2x$，切线 $y-a_k^2=2a_k(x-a_k)$。
2. 令 $y=0$：$x=\frac{a_k}{2}$，即 $a_{k+1}=\frac{a_k}{2}$。
3. $\{a_k\}$ 是首项 $16$、公比 $\frac{1}{2}$ 的等比数列。
4. $a_1+a_3+a_5=16+4+1=21$。

✅【答案】

点击查看答案

$21$

✍【详细解析】

Abstract

$y=x^2$ 的导数 $y^{\prime }=2x$，在点 $(a_k,a_k^2)$ 处的切线为 $y-a_k^2=2a_k(x-a_k).$ 令 $y=0$，得 $x=\frac{a_k}{2}$，故 $a_{k+1}=\frac{a_k}{2},$ $\{a_k\}$ 是首项 $a_1=16$、公比 $\frac{1}{2}$ 的等比数列。 $a_1+a_3+a_5=16+16\times \frac{1}{4}+16\times \frac{1}{16}=16+4+1=21.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的几何意义与等比数列

核心方法：写切线方程求截距，得递推 $a_{k+1}=\frac{a_k}{2}$

避坑指南：切线 $y=2a_{k}x-a_k^2$ 的 $x$ 轴截距是 $\frac{a_k}{2}$ 不是 $2a_k$；$a_1+a_3+a_5$ 只要奇数项，$a_3=4$、$a_5=1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：切线截距构成递推数列是导数与数列的结合点。

结论推广：等比数列 $a_1=16,q=\frac{1}{2}$：$16,8,4,2,1$ 五项一眼看出。

方法推广：$y=x^2$ 在 $x=a$ 处的切线恒过 $\left(\frac{a}{2},0\right)$，这是抛物线的切线性质。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2009-江西卷文-12 单-公切线与切线方程
• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式
• 2009-江苏卷-14 填-等比数列四项链
• 2009-新课标卷文-15 填-等比数列求和