2010-江西卷理-04 单-等比数列

本题导读

考查无穷递降等比数列求和极限的计算。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(理)） ${\lim }_{n\to \infty }\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{3^n}\right)=$()

A. $\frac{5}{3}$　　　　　　B. $\frac{3}{2}$　　　　　　C. $2$　　　　　　D. 不存在

🔍【思路分析】

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1. 先求有限项等比数列的前 $n+1$ 项和 $S_n$。
2. 对 $S_n$ 取 $n\to \infty$ 的极限；或直接套用无穷递降等比数列求和公式 $S=\frac{a_1}{1-q}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解： 括号内为首项 $a_1=1$，公比 $q=\frac{1}{3}$ 的等比数列的前 $n+1$ 项和： $S_n=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{3^n}=\frac{1\cdot \left[1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n+1}\right]}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}\left[1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n+1}\right]$

取极限得： ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=\frac{3}{2}\left(1-0\right)=\frac{3}{2}$

正确选项：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列求和公式与无穷极限。
2. 核心方法：无穷递降等比数列求和公式 $S=\frac{a_1}{1-q}$（当 $|q|<1$ 时）。
3. 避坑指南：注意项数为 $n+1$ 项（指数从 $0$ 到 $n$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于旧人教版教材极限章节基础例题。
2. 结论推广：若 $|q|<1$，则 ${\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{k=0}^n{a}_1{q}^k=\frac{a_1}{1-q}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-18 单-等比数列
• 2011-北京卷文-12 填-等比数列求和
• 2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件