2010-江西卷理-10 单-立体几何

本题导读

考查正方体中的空间直线的对称性以及方向向量与坐标轴夹角相等的判断。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(理)） 过正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的顶点 $A$ 作直线 $l$，使 $l$ 与棱 $AB,AD,A{A}_1$ 所成的角都相等，这样的直线 $l$ 可以作()

A. $1$ 条　　　　　B. $2$ 条　　　　　C. $3$ 条　　　　　D. $4$ 条

🔍【思路分析】

破题导航

1. 以 $A$ 为坐标原点，边 $AB,AD,A{A}_1$ 分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。
2. 设直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{v}=(x,y,z)$，直线 $l$ 与三条坐标轴所成的角相等，即 $|\cos {\theta }_x|=|\cos {\theta }_y|=|\cos {\theta }_z|$。
3. 由向量夹角余弦公式得出 $|x|=|y|=|z|\ne 0$，确定符合条件的直线条数。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

解： 以 $A$ 为坐标原点，分别以 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{A{A}_1}$ 的方向为 $x,y,z$ 轴正方向建立空间直角坐标系。

设直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{v}=(x,y,z)$（其中 $x,y,z$ 不全为 $0$）。 直线 $l$ 与 $x,y,z$ 轴所成的角均相等，则 $\vec{v}$ 与三坐标轴基向量 $\vec{i}=(1,0,0),\vec{j}=(0,1,0),\vec{k}=(0,0,1)$ 夹角的余弦值的绝对值相等，即： $\frac{|x|}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{|y|}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{|z|}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$

由此可得： $|x|=|y|=|z|\ne 0$

不妨取 $|x|=|y|=|z|=1$，方向向量 $(x,y,z)$ 中各个坐标符号组合共有 $2^3=8$ 种可能： 方向相反的向量表示同一条直线，故符合条件的直线 $l$ 的条数为： $\frac{8}{2}=4\text{ 条}$

具体对应几何位置为：

1. 正方体对角线 $A{C}_1$ 所在直线：方向向量 $(1,1,1)$；
2. 其他三条分布在以 $A$ 为顶点的三个八分空间内：方向向量分别为 $(-1,1,1)$, $(1,-1,1)$, $(1,1,-1)$。

正确选项：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间直线的方向向量与轴夹角，正方体的体对角线特征。
2. 核心方法：坐标向量法（将“夹角相等”转化为“坐标绝对值相等”）。
3. 避坑指南：容易遗漏不在正方体内部的 $3$ 条直线（仅想到体对角线 $A{C}_1$ 而误选 A）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于立体几何中对角线对称性与向量方向角的考查。
2. 结论推广：过空间一点与三条两两垂直的直线（或坐标轴）所成角均相等的直线共有 $4$ 条，其与三条直线的夹角均满足 $\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{3}$（即 $\theta \approx 54.7^{\circ }$）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程
• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积
• 2011-上海卷文-18 单-向量和与重心