2010-江西卷理-12 单-面面垂直

本题导读

考查导数几何意义（微元法）的应用，即面积变化率 $S^{\prime }(t)$ 等于图形在水面截线段的长度变化。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(理)） 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 $t$ 时刻五角星露出水面部分的图形面积为 $S(t)$（$S(0)=0$），则导函数 $y=S^{\prime }(t)$ 的图象大致为()

🔍【思路分析】

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1. 理解导数的几何意义：$S^{\prime }(t)={\lim }_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta S}{\Delta t}$。由于五角星匀速上升，$\Delta h=v\cdot \Delta t$，故 $\Delta S\approx L(t)\cdot \Delta h=L(t)\cdot v\cdot \Delta t$，即导数 $S^{\prime }(t)$ 的大小正比于在时刻 $t$ 水面处五角星截线段的长度 $L(t)$。
2. 观察正五角星从下往上被水面截得的线段长度 $L(t)$ 的变化特征：

• 刚开始最下方为一个角，线段长度 $L(t)$ 从 $0$ 线性增大；
• 越过下方两个凹角后，截线段长度会突变/分段变化；
• 整个升出水面的全过程中，截线段长度 $L(t)\ge 0$ 且连续变化/分段线性，终点回到 $0$。

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只有图象 D 符合从 $0$ 开始、全程非负、分段折线变化且最终回到 $0$ 的特征

✍【详细解析】

Abstract

解： 由于五角星薄片是匀速升出水面的，设上升速度为 $v$（常数）。 在时刻 $t$，露出水面高度 $h=vt$。

根据微元法，在极短时间 $\Delta t$ 内，面积的增量为： $\Delta S\approx L(t)\cdot \Delta h=L(t)\cdot v\cdot \Delta t$ 其中 $L(t)$ 为在时刻 $t$ 时水面切过五角星的水平截线段总长度。

因此导函数： $S^{\prime }(t)={\lim }_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta S}{\Delta t}=v\cdot L(t)$ 即 $S^{\prime }(t)$ 的变化趋势与水平截线段长度 $L(t)$ 的变化趋势完全一致。

分析正五角星各阶段截线段长度 $L(t)$：

1. 初始阶段（最下方尖角）： 截线是一个单线段，从 $0$ 开始随高度线性增加，故 $S^{\prime }(0)=0$，图象从原点 $(0,0)$ 出发，呈线性上升。 （可排除图象 A：A 中起点不为 $0$ 且有负值）。
2. 中间阶段： 水面通过两个侧向凹角时，水面处的截线段由单条线段变为两条线段叠加，长度发生折点变化，但截线长度始终为正值 $L(t)>0$，因此 $S^{\prime }(t)\ge 0$ 恒成立。 （可排除图象 B：B 中导数出现了负值）。
3. 结束阶段（最上方尖角）： 随着五角星完全升出水面，水面最后切过最上方的顶点，截线长度 $L(t)$ 最终减小回 $0$。 （可排除图象 C：C 中终点导数还在增大）。

综上所述，只有图象 D 符合从 $0$ 开始、全程非负、分段折线变化且最终回到 $0$ 的特征。

正确选项：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的物理/几何意义（变化率 $S^{\prime }(t)$ 对应截面交线长 $L(t)$）。
2. 核心方法：微元分析法（$\Delta S=L\cdot \Delta h$）与图象特征排除法。
3. 避坑指南：切忌硬求 $S(t)$ 的具体解析式，通过“截线长 $L(t)$ 变化趋势”分析是唯一快速且准确的方法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于微积分中“截面积积分求体积/面积变化率”的几何思想。
2. 结论推广：若平面图形（或三维几何体）以恒定速度穿过一平面，则累积面积（或体积）对时间的导数 $S^{\prime }(t)$（或 $V^{\prime }(t)$）与当时水面截线长（或截面积）成正比。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷理-08 单-导数综合
• 2011-北京卷理-18 解-导数
• 2011-四川卷文-22 解-导数方程与数列不等式