2010-江西卷理-13 填-向量

本题导读

考查平面向量数量积运算及利用向量模长公式 $|\mathbf{a}-\mathbf{b}|=\sqrt{(\mathbf{a}-\mathbf{b}{)}^2}$ 求解模长。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(理)） 已知向量 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 满足 $|\mathbf{a}|=1,|\mathbf{b}|=2$，$\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角为 $60^{\circ }$，则 $|\mathbf{a}-\mathbf{b}|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用向量数量积公式 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta$ 计算 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$。
2. 对 $|\mathbf{a}-\mathbf{b}|$ 进行平方展开，代入数值求出 $|\mathbf{a}-\mathbf{b}{|}^2$，最后开方取正值。

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$\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

解： 由题意，向量 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos 60^{\circ }=1\times 2\times \frac{1}{2}=1$。

展开 $|\mathbf{a}-\mathbf{b}{|}^2$： $|\mathbf{a}-\mathbf{b}{|}^2={\mathbf{a}}^2-2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+{\mathbf{b}}^2=|\mathbf{a}{|}^2-2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+|\mathbf{b}{|}^2$

代入已知数据： $|\mathbf{a}-\mathbf{b}{|}^2=1^2-2\times 1+2^2=1-2+4=3$

开方得： $|\mathbf{a}-\mathbf{b}|=\sqrt{3}$

填空答案：$\sqrt{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量数量积及向量模长平方恒等式 $|\mathbf{u}{|}^2={\mathbf{u}}^2$。
2. 核心方法：平方开方法。
3. 避坑指南：计算时注意夹角余弦值符号与乘法展开中的二次项系数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于必修课程中平面向量数量积与几何模长计算基础题。
2. 结论推广：对任意两向量，$|\mathbf{a}\pm \mathbf{b}|=\sqrt{|\mathbf{a}{|}^2+|\mathbf{b}{|}^2\pm 2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta }$（余弦定理向量形式）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程
• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积
• 2011-上海卷文-18 单-向量和与重心