2010-江西卷理-14 填-排列组合

本题导读

考查平均分组/不均匀分组与元素分配问题的综合应用，核心在于正确处理“均分消序”与“全排列分配”。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(理)） 将 6 位志愿者分成 4 组，其中两个组各 2 人，另外两个组各 1 人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有$\underline{}$种.（用数字作答）

🔍【思路分析】

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1. 第一步（分组）：将 6 个人分成组人数分别为 $(2,2,1,1)$ 的 4 个组。因为有两个 2 人组和两个 1 人组，需要除以阶乘消去组的顺序。
2. 第二步（分配）：将分好的 4 个不同组全排列分给 4 个不同的场馆。

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$1080$

✍【详细解析】

Abstract

解：

第一步：将 6 人分为 $(2,2,1,1)$ 的 4 组 分组方法数为： $\frac{{\mathrm{C}}_6^2{\mathrm{C}}_4^2{\mathrm{C}}_2^1{\mathrm{C}}_1^1}{{\mathrm{A}}_2^2\cdot {\mathrm{A}}_2^2}=\frac{15\times 6\times 2\times 1}{2\times 2}=45\text{ 种}$

第二步：将 4 个组分配到 4 个不同场馆 分配方法数为： ${\mathrm{A}}_4^4=4!=24\text{ 种}$

根据分步乘法计数原理，总分配方案数为： $N=45\times 24=1080\text{ 种}$

填空答案：$1080$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平均分组除以阶乘消序（除以 ${\mathrm{A}}_k^k$）。
2. 核心方法：先分组、再分配原则。
3. 避坑指南：容易忘记除以 ${\mathrm{A}}_2^2\cdot {\mathrm{A}}_2^2$（因为存在两个人数相同的 2 人组和两个人数相同的 1 人组，会导致重复计数）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于排列组合经典模型中的“分组分配”问题。
2. 结论推广：将 $n$ 个不同元素分成 $k_1$ 个 $a_1$ 人组、$k_2$ 个 $a_2$ 人组……并分给不同的接受对象，分组数为 $\frac{{\mathrm{C}}_n^{a_1}\dots }{\prod (k_i!)}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷理-08 单-排列组合
• 2012-辽宁卷理-05 单-排列组合
• 2013-北京卷理-12 填-排列组合应用